知识讲解_空间直角坐标系_基础

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1、空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向

2、y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标

3、系中，点，则有点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是.要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间中有两点，则此两点间的距离.特别地，点与原点间的距离公式为.2.空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.【典型例题】类型一：空间坐标系例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E、F的坐标。【答案】，【解析】

4、法一：如图，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，点E在xOy面上的投影为B（1，0，0），∵点E竖坐标为，∴。F在xOy面上的投影为BD的中点G，竖坐标为1，∴。法二：如解法一所建立空间直角坐标系，∵B1（1，0，1），D1（0，1，1），B（1，0，0）E为BB1的中点，F为B1D1的中点，∴E的坐标为，F的坐标为。点评：本题主要考查空间中点的坐标的确定，关键是建立坐标系找到各个坐标分量。由于正方体的棱AB，AD，AA1互相垂直，可以以它们所在直线为坐标轴建系。点的各个坐标分量就是这个点在各个坐标

5、轴上的投影在相应坐标轴上的坐标。举一反三：【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC—D1A1B1C1是单位正方体，N是BB1的中点，求这个单位正方体各顶点和点N的坐标．【答案】O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1，）。例2．在平面直角坐标系中，点P（x，y）的几种特殊的对称点的坐标如下：（1）关于原点的对称点是P＇（－x，－y）；（2）关于轴的对称点是P＂（x，－y）；（3）关于轴的对称点是P（－x，y）．那么，在空

6、间直角坐标系内，点P（x，y，z）的几种特殊的对称点坐标为：①关于原点的对称点是P1________；②关于横轴（x轴）的对称点是P2________；③关于纵轴（y轴）的对称点是P3________；④关于竖轴（z轴）的对称点是P4________；⑤关于xOy坐标平面的对称点是P5________；⑥关于yOz坐标平面的对称点是P6________；⑦关于zOx坐标平面的对称点是P7________．【答案】①（－x，－y，－z）②（x，－y，－z）③（－x，y，－z）④（－x，－y，z）⑤（x，y，－z）⑥（－x，y，z）⑦（x，－y，z）【

7、解析】类比平面直角坐标系，在空间直角坐标系有如下结论：①P1（－x，－y，－z）；②P2（x，－y，－z）；③P3（－x，y，－z）；④P4（－x，－y，z）；⑤P5（x，y，－z）；⑥P6（－x，y，z）；⑦P7（x，－y，z）．【总结升华】上述结论的证明，可类比平面直角坐标系的方法加以证明：如P点关于原点的对称点P1，则有PP1的中点为原点。由中点坐标公式即可求出P1点坐标．上述结论的记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余的相反”，如关于轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数；关于坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反．举一反三：

8、【变式1】（2015春福建厦门期末）在空间直角坐标系O—xyz，点P（1，2，3）关于xOy平面的对称点是（）A．（―1，