的正交分解及其坐标表

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1、第三章3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示共线向量定理:复习：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo复习提问：平面直角坐标系中１、2、提问:我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任意一点的位置都有唯一的坐标来表示.那空间中任意一点的位置怎样用坐标来表示?墙墙地面下图是一个房间的示意图,我们来探讨表示电灯位置的方法.z134x4y15O(4,5,3)一、空间直角坐标系oxyz从空间某一个定点０引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系０－xyz．点Ｏ叫做坐标原点，x轴、

2、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面、和Zox平面．oxyz在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．说明:☆我们一般建立的坐标系都是右手直角坐标系.空间直角坐标系的画法:oxyz1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350,而z轴垂直于y轴．135013502.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半．有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ怎样来表示它

3、的坐标呢？oxyzＡabc(a,b,c)经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标a,b,c组成的有序实数对（a,b,c)叫做点Ａ的坐标记为：Ａ（a,b,c)在空间直角坐标系中，作出点（５,４,６）.例１分析：oxyzＯ从原点出发沿x轴正方向移动５个单位Ｐ1Ｐ1沿与y轴平行的方向向右移动４个单位Ｐ2Ｐ2沿与z轴平行的方向向上移动６个单位ＰＰ（５,４,６）Ｐ１５Ｐ2４６在空间直角坐标系中,x轴上的点、xoy坐标平面内的点的坐标各有什么特点？１．x轴上的点横

4、坐标就是与x轴交点的坐标，纵坐标和竖坐标都是０．２．xoy坐标平面内的点的竖坐标为０，横坐标与纵坐标分别是点向两轴作垂线交点的坐标．单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用来表示.因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底以点O为原点，分别以的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O—xyz.x轴、y轴、z轴，都叫做叫做坐标轴,点O叫做原点，向量都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做

5、坐标平面.xyzOkij对空间任一向量,由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组,使空间直角坐标系在空间直角坐标系O–xyz中，对空间任一点A,对应一个向量,于是存在唯一的有序实数组x,y,z,使(如图).显然,向量的坐标，就是点A在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).xyzOA(x,y,z)ijk也就是说,以O为起点的有向线段(向量)的坐标可以和点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.结论

6、：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.如果知道有向线段的起点和终点的坐标,那么有向线段表示的向量坐标怎样求?空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。一空间向量基本定理：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两

7、个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使都叫做基向量（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底{a,

8、b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}