[工学]华电 现代控制理论 第二章

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1、第二章状态空间表达式的解一种分析系统状态和输出特性的直接法一.线性定常齐次状态方程的解二.状态转移矩阵三.线性定常非齐次状态方程的解四.线性时变系统状态方程的解五.离散系统状态方程的解六.连续系统的离散化一.线性定常齐次状态方程的解1、线性齐次状态方程解的定义2、线性齐次状态方程解的物理意义3、状态转移矩阵的引出返回主页一阶齐次微分方程组解的定义一阶齐次微分方程：解为：一阶齐次微分方程组：，解为：返回推导2.齐次方程解的物理意义由初始条件引起的运动规律为齐次方程的解确定的，状态向量在任意时刻t1的取值可由获得。并

2、可以在以x（t）向量为坐标系的n维状态空间里绘制系统状态随时间运动的轨迹，称为状态轨迹。返回3.状态转移矩阵的引出系统由初始条件引起的运动的规律及特性主要取决与eAt，eAt是由系统矩阵A唯一确定的。系统由输入引起的运动规律除了和输入信号的大小形式有关与系统的结构及eAt的形式也密切相关，定义为系统状态转移矩阵。显然，状态空间表达式的求解关键在于求取系统的状态转移矩阵。返回二.状态转移矩阵1、状态转移矩阵的性质2、几个典型形式的状态转移矩阵3、一般状态转移矩阵的求法返回主页(1)(2)(3)(4)(5)状态转移矩

3、阵的逆为时间的逆转。(6)(7)(8)若，则有注：上述性质由定义导出。p59返回1.状态转移矩阵的性质2.几个典型形式的状态转移矩阵（1）若为对角阵，则（2）若T-1AT=为对角阵，则（3）A=为约旦阵，则书上p61页2-15，2-16，2-17，2-18，2-19（4）T-1AT=为约旦阵，则（5）若，则[举例1]：若则[举例2]：若则返回3.一般状态转移矩阵的求法(1)利用定义计算(2)利用Laplace变换计算(3)化A阵为对角型或约旦标准型计算（利用状态转移矩阵的性质计算）求特征值和特征向量由变换阵P化A

4、为对角阵或约旦标准型求对角阵或约旦标准型所对应的状态转移矩阵求原矩阵A的状态转移矩阵。返回推导三.线性定常非齐次状态方程的解1、非齐次方程解的通式直接求解Laplace变换求解2、典型输入下非齐次方程解脉冲输入阶跃输入斜坡输入返回主页已知系统状态空间表达式为：直接法积分求解初始状态引起的解：输入作用引起的解：由输出方程可以求出系统的输出解。1.非齐次方程解的通式Laplae变换求解状态方程两边同时求拉氏变换得：系统的状态与输出的形式取决与系统结构初始条件和输入信号的形式，所以在系统为典型输入信号作用时的状态解和输

5、出解的形式可以依据上述通式导出。返回2．典型输入下非齐次方程的解（1）脉冲输入下的解为：（2）阶跃输入下的解为：(使用条件A的逆存在)（3）斜坡输入下的解为：(使用条件A的逆存在)注意：线性系统的输出输入特性。返回四.线性时变系统状态方程的解请参考书上内容自学，本课程对此不做要求。返回主页五.离散系统状态方程的解1、差分方程组的求解方法迭代法Z变换法2、引入状态转移矩阵，简化离散系统状态方程的求解返回主页1.差分方程组的求解方法（1）（1）迭代法得系统状态的迭代计算式为：注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但

6、有累积误差。与连续状态方程的求解公式在形式上类似（2）z变换法注：计算结果为封闭的解析形式。返回2.引入状态转移矩阵，简化离散系统状态方程的求解（1）状态转移矩阵的定义及计算：（2）G阵为典型结构形式的状态转移矩阵的计算G为对角型时G为约旦型G可化对角型（变换阵为P）G可化约旦型（变换阵为P）（3）状态转移矩阵的性质返回六.连续系统的离散化1.连续系统离散化的意义意义2.连续系统离散化的假设条件(1)离散化按等采样周期处理；(2)采样脉冲为理想脉冲信号；(3)输入向量u（t）只在采样点变化，两相邻采样点之间的输入

7、由零阶保持器保持不变；(4)采样周期的选择满足香农定理。3.线性定常系统状态方程的离散化方法(1)化连续状态方程为离散状态方程连续系统状态方程：理论推导可得：取时，T为采样周期，则离散化以后的状态空间表达式为：[例8]：P89例2-12。例题（3）近似离散化连续系统状态方程：当T足够小时，有代入连续系统状态方程中得：离散后的状态空间表达式为：（注：近似计算方法的采样周期越小系统近似的精度越高）[例11]：P92例2-14（2）。返回主页4、线性时变系统状态方程的离散化（自学）返回主页1.设系统状态空间表达式为。其

8、中:求系统的状态转移矩阵。求零输入、初始状态为时，系统的状态解和输出解。求零状态、输入为单位阶跃信号时系统的状态解和输出解。单元练习22、检验下列矩阵是否为系统的状态转移矩阵。若是，求对应的矩阵A。（1）（2）1阶齐次微分方程的解返回Laplace变换法返回（2）化被控对象的连续状态方程为离散状态方程，根据系统反馈结构及开关位置求闭环系统的离散状态空间表达式[例9]：P9