多元函数的极值及其求法(VII)

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1、第七节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值1．多元函数极值的定义（以二元函数为例）可类似定义n元函数u=f(x1，x2，…，xn)的极值1例1例２例３xyzo旋转抛物面锥面双曲抛物面（马鞍面）22、多元函数取得极值的必要条件仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.3注（1）函数的驻点不一定是极值点，例如，点(0，0)是函数z=xy的驻点，但函数在该点并无极值。（2）函数的极值点不一定是驻点，偏导数不存在的点仍可能为极值点。（3）可能极值点：(i)驻点（ii)偏导数不存在的点43．极值的充分条件定理２（充分条件）设函数z=f(x，y)在点(x0

2、，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，（3）AC－B2=0时可能有极值，也可能没有极值，需要另作讨论（1）AC－B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；（2）AC－B2<0时没有极值又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，则f(x，y)在(x0，y0)处是否取得极值的判定条件如下：5例2求函数f(x，y)=x3－y3+3x2+3y2－9x的极值解：先解方程组求得驻点为(1，0),(1，2),(－3，0),(－3,2).再求出二阶偏导数fxx(x，y)=6x+6，f

3、xy(x，y)=0，fyy(x，y)=－6y+6在点（1，0）处，AC－B2=12·6>0，又A>0，所以函数在（1，0）处有极小值f（1，0）=－5；在点（1，2）处，AC－B2=12·(－6)<0，所以f（1，2）不是极值；6例2求函数f(x，y)=x3－y3+3x2+3y2－9x的极值解：先解方程组求得驻点为(1，0),(1，2),(－3，0),(－3,2)求出二阶偏导数fxx(x，y)=6x+6，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=－6y+6在点（－3，0）处，AC－B2=－12·6<0，所以f（－3，0）不是极值；在点（－3，2）处，AC－B2=－12·(－6)>0，又

4、A<0，所以函数在（－3，2）处有极大值f（－3，2）=3175多元函数的最值依据:(1)如果f(x，y)在有界闭区域D上连续，则f(x，y)在D上必定能取得最大值和最小值。一般方法:求f(x，y)在D内的驻点，将f(x，y)在所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相比较，其中最大的就是f(x，y)在D上的最大值，最小的就是最小值。(2)若函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D的内部取得最大值（最小值），那末这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。8特殊的方法：在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数f(x，y)的最大值（最小值）

5、一定在D的内部取得，而函数在D内只有唯一驻点，那末可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x，y)在D上的最大值（最小值）。其中f(x，y)在D的边界上的最值通常可化为一元函数的最值问题（或化为条件极值问题）。有时计算往往较复杂。9解1011二、条件极值、拉格朗日乘数法实际问题中，有时会遇到对函数的自变量另有附件条件的极值问题，这类极值称为条件极值。1．引入无条件极值：若对于函数的自变量，除了要限制在函数的定义域内以外并无其他条件12拉格朗日乘数法:求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程（2）联立起来：由这方程组解出x，y及λ，则其中x，y就是函数f(x，y)在附加条件(x,

6、y)=0下的可能极值点的坐标。其中λ为某一常数。先构造辅助函数13拉格朗日乘数法解题步骤:（3）（4）解出x，y及λ（2）构造辅助函数14(1)这种方法还可以推广到自变量多于两个情况例如，要求函数u=f(x，y，z)在附加条件3．推广可以先构造辅助函数15(2)这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情况例如，要求函数u=f(x，y，z，t)在附加条件下的极值，可以先构造辅助函数其中λ1，λ2均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与（9）中的两个方程联立起来求解，这样得出的x、y、z、t就是函数f(x，y，z，t)在附加条件(9)下的可能极值点16解：设M(x，y，z)是

7、所求长方体在第一卦限的顶点的坐标，构造辅助函数则问题化为求函数V=8xyz在条件：求其对x，y，z的一阶偏导数并使之为零，再与条件方程联立，有17由其中的前3个方程可推出（因为λ≠0，否则xyz=0与题意不合），得而依题意知体积最大的内接长方体存在,故内接长方体最大体积为是唯一的可能极值点，18例3求z=x3+y3在D：x2+y2≤1上的最大值和最小值。解：函数z=x3+y3在有界闭区域x2+y2≤1上一定可取得最大值和最小值求驻点唯一驻点为(0，0)。该