格林公式例题与习题

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1、区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)规定：域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、格林公式推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积定理1例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得例2.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则利用格林公式,有二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中

2、任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即说明:根据定理2,若在某区域D内则注：求曲线积分时,若积分路径不是闭曲线，且难计算，则可添加辅助线后，利用格林公式简化计算。2)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理23)若已知du=Pdx+Qdy,则对D内任一分段光滑曲定理2线AB,有注:此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4)

3、.它类似于微积分基本公式:例4.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,则例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数及证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使例6.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2可知存在原函数或例7.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!内容小结转内容

4、小结内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在D内有对D内任意闭曲线L有在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有为全微分方程2.设提示:作业P2145(1),(4)；第四节第四节