空间向量的坐标运算(III)

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1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示回顾平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示（平面向量基本定理），那么，对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？oijkPQP=xi+yj+zk空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使p=xa+yb+zc定理其中{a，b，c}叫做空间的一个基底.（不共面且非零）建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向量e1,e2,e3.这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{e1,

2、e2,e3}这个基底叫做单位正交基底,单位向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.空间向量的坐标表示oxyzPQP=xe1+ye2+ze3e1e2e3横坐标x，纵坐标y，竖坐标z.记p=(x,y,z)AoBCMNQP例1：如图，M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点.用向量OA,OB,OC表示OP,OQ.练习：课本P941，2，3例题设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；λa=(λa1，λ

3、a2，λa3)(λ为实数)；a•b=a1b1+a2b2+a3b3空间向量的坐标运算设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)AB=OB-OA=(x2，y2，z2)-(x1，y1，z1)=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)设M为AB中点，M点坐标为M(x0,yo,zo)其中x0=(x1+x2)/2；y0=(y1+y2)/2；z0=(z1+z2)/2中点坐标公式向量的坐标公式a∥b<==>a1

4、a2a3b1b2b3a∥b(b≠0)<==>a=λb即a∥b(b≠0)<==>a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3,a•b=0共线垂直a⊥ba1b1+a2b2+a3b3=0a⊥b空间向量平行和垂直的条件例1.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,求:p,q,p•q.解:p=a-b=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1);q=a+2b-c=(1,1,0)+2(0,1,1)-(1,0,1)=(0,3,1);p•q=(1,0,-1)•(0,3,1)=10+0

5、3+(-1)1=-1例题设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式空间两点间的距离公式例2.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求：线段AB的中点坐标和长度；zxyoA(3,3,1)B(1,0,5)M设M(x,y,z)是AB的中点，则OM=(OA+OB)例题例3:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1E1=D1F1=求BE1与DF1所成的角的余弦值.ABCDA1B1C1D1E1F1XYZ解析：不妨设正方体的棱长为1；以D为原点O建立空间直角坐标系O-xyz.OB(1，1，

6、0）E1D(0，0，0）F1（0，，1）例题例4:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证：EF⊥DA1.ABCDA1B1C1D1EFXYZ解析：不妨设正方体的棱长为1；以D为原点O建立空间直角坐标系O-xyz.OA1(1，0，1）FD(0，0，0）E（1，1，）例题练习：课本P971，2，3BCC1A1B1ANM思考题课本：P102练习P105练习课后作业