资源描述：
《连续函数的运算(II)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、OperationsofContinuousFunctions1.9连续函数的运算一、连续函数的四则运算设函数f(x)和g(x)在点x0处连续，则也在点x0处连续。证所以在点x0处连续。两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）仍为连续函数推论例如，由sinx和cosx的连续性，以下三角函数在其定义域内处处连续：二、反函数和复合函数的连续性反函数函数的连续性设y=f(x)在区间I=(a,b)上单调且连续，则其反函数x=f–1(y)在区间J=f(I)上单调且连续。证明思路以下三角函数在相应区间单调连续它们的反函数也在相应区间单调且连续plot([sin(x),x,x=-1.
2、5..1.5],scaling=constrained,color=blue,thickness=4);plot(sin(x),x=-Pi/2..Pi/2,y=-1..1,scaling=constrained,color=blue,thickness=3);with(plots):A:=plot([x,sin(x),x=-Pi/2..Pi/2],scaling=constrained,color=red,thickness=4):B:=plot([sin(x),x,x=-1.5..1.5],scaling=constrained,color=blue,thickness=
3、4):display(A,B);plot([cos(x),x,x=0..Pi],scaling=constrained,color=blue,thickness=4);plot(cos(x),x=0..Pi,y=-1..1,scaling=constrained,color=blue,thickness=3);with(plots):A:=plot([x,cos(x),x=0..Pi],scaling=constrained,color=red,thickness=4):B:=plot([cos(x),x,x=0..Pi],scaling=constrained,color
4、=blue,thickness=4):display(A,B);plot([tan(x),x,x=-1.4..1.4],scaling=constrained,color=blue,thickness=3);二、复合函数的连续性设y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与u=g(x)复合而成的复合函数。若则p.48复合函数的极限：设y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与u=g(x)复合而成的复合函数。若则p.48复合函数的极限：若f(u)在u0处连续稍加修改：则定理3若f(u)在u0处连续则定理3极限运算lim与连续函数运算可以交换设函数u=g(x)在点x0处连续，y=f(
5、u)在点u0=g(x0)处连续，则复合函数y=f[g(x)]在点x0处连续。推论：连续函数的复合函数仍为连续函数。定理4例内连续在在内连续在内连续例4在其定义域内处处连续三、初等函数的连续性已经证明：三角函数和反三角函数在其定义域内连续。可以证明：指数函数在其定义域内单调且连续。plot([exp(x),1/exp(x)],x=-2..2,y=0..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);在其定义域内单调且连续。证明思路：(1)用定义证明函数在x=0处连续：(2)证明函数任意点在x处连续：请有兴趣的同学去完成ε
6、-δ语言(1)用定义(ε-δ语言)证明函数在x=0处连续：(2)证明函数任意点在x处连续：指数函数在其定义域内单调且连续。因此，指数函数的反函数:对数函数在其定义域内单调且连续。plot([ln(x),-ln(x)],x=-0.2..4,y=-4..4,scaling=constrained,color=[red,blue],thickness=3);幂函数的连续性：由y=ex和y=lnx的连续性，y=xμ连续(x>0).可以证明：幂函数y=xμ在其定义域内连续。基本初等函数的连续性：基本初等函数在其定义域内连续。初等函数的连续性：由连续函数的四则运算及复合运算性质可知：定
7、义区间：定义域内的区间。注：有的初等函数的定义域不能构成区间，连续性无从谈起。一切初等函数在其定义区间内都是连续的。如：的定义域？一切初等函数在其定义区间内都是连续的。在其定义域内处处连续。其间断点为无定义的点：x=0函数的连续区间：和初等函数的间断点：一般为分母为零的点例讨论函数的连续性，若有间断点，判别其类型：解间断点：连续区间：间断点：x=1为第一类间断点（可去间断点）间断点：x=-2为第二类间断点（无穷间断点）with(plots):f(x):=(x-1)*(x+1)/((x-1)*(x+2)):A:=pl
