连续函数的运算(V)

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1、§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性小结思考题作业初等函数的连续性第一章函数与极限1定理1如,则由于一、四则运算的连续性也在点x0连续;在其定义域内连续.在点x0连续;在点x0连续.2如,结论:反三角函数在其定义域内皆连续定理2故同理,二、反函数与复合函数的连续性单调增加且连续,单调的连续函数必有单调的连续反函数.也是单调增加且连续.单调减少且连续.单调增加且连续.单调减少且连续.3此定理对计算某些极限是很方便的.定理3设函数是由函数与函数复合而成,而函数连续,则证)

2、]([xgfy=)(ufy=)(xgu=,)(lim00uxgxx=®若)(ufy=0uu=在).(0uf=,0时使当h<-uu4将上两步合起来:,0时使当h<-uu5定理3则有注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续3.该定理的意义在于：极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层。6意义例解可交换次序;由所以2.变量代换的理论依据.1.在定理的条件下,定理3则有.sine=7例解这里不连续,但所以定理3则有8例解9利用连续性求极限练习练习解练习令ax-1=t解则x=

3、loga(1+t)x0时t0于是10定理4设函数是由函数与函数复合而成,若函数连续,而函数连续,则复合而成也连续.是由连续函数因此复合而成例)]([xgfy=)(ufy=)(xgu=0)(xxxgu==在,)(00uxg=且0)(uuufy==在)]([xgfy=0xx=在点注意定理4是定理3的特殊情况.11三角函数及反三角函数(1)(2)(3)是连续的;三、初等函数的连续性单调且连续;指数函数对数函数单调且连续;(均在其定义域内连续)(4)幂函数连续;讨论不同值.在它们的定义域内基本初等函数在定义域内是

4、连续的.12定义区间是指包含在定义域内的区间.基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续1.初等函数仅在其定义区间内连续,如,这些孤立点的邻域内没有定义.注在其定义域内不一定连续;2.初等函数求极限的方法代入法.13例例解解14函数g(x)h(x)称为幂指函数,它的定义域一般应要求g(x)>0.幂指函数求极限时,幂指函数g(x)h(x)也是连续函数.当g(x)与h(x)均为连续函数,且g(x)>015幂指函数求极限的方法——换底（e）公式法：由定理3容易

5、得到下面几个幂指函数的极限公式：16(3)(2)(1)例解:原式练习17四、小结连续函数的和差积商的连续性;复合函数的连续性:初等函数的连续性:求极限的又一种方法.两个定理.反函数的连续性;定义区间与定义域的区别;18思考题解19作业习题1-9(68页)1.3.4.5.20一、填空题:练习题二、求下列各极限:21练习题答案22