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1、自主招生数学讲义分配编号内容负责人1数列递推公式，求数列通项邵宏宏2数列求和邵宏宏3数学归纳法孙雁4杂数列季风5三角恒等变换孙雁6三角不等式王敏杰7抽象函数倪国红8函数与方程张宇9函数图像张宇10向量综合倪国红11直线与圆黄润育12圆锥曲线周延军13参数方程、极坐标周延军14立体几何季风15复数综合黄润育16组合杂题王敏杰说明：1.建议大家参考发给大家的自主招生试题集，主要是复旦、交大等的试题,挑选相应内容的屮等或屮等偏上试题；2.讲义格式，试题数量参考发给大家的讲义范例;3.时间上要求在国庆后交初稿
2、大学自主招生数学简明讲义第一讲递推数列求通项3第二讲数列求和8第三讲数学归纳法11第四讲数列杂题16第五讲三角恒等变换19第六讲三角不等式24第七讲函数性质29第八讲函数与方程32第九讲函数性质35第十讲向量综合45第十一讲直线与圆45第十二讲圆锥曲线57第十三讲参数方程、极坐标58第十四讲立体几何58第十五讲复数综合64第十六讲组合杂题64第一讲递推数列求通项一、公式法例1、已知无穷数列仏“｝的前〃项和为S“,并且an+Sfi=l(neN#)f求仏”｝的通项公式？反思：利用相关数列｛化｝与｛S”｝的
3、关系：a｝=S^an=Sn-Sn_｝(n>2)与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.二、归纳猜想法：由数列前儿项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例2、已知数列｛a“｝中,q=l,an=2an_｛+(n>2),求数列｛q”｝的通项公式.【解析】：•・•=1,an=2a〃_i+1(刃»2),・•・勺=2q+1二3,=2a,+1=7•…猜测afl=T-(neN^，再用数学归纳法证明.(略)反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就
4、是一定要用数学归纳法证明其正确性.三、累加法：利用色=5+@2-4)+…求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如曾+】=山+/(力的递推数列通项公式的基本方法(f(n)可求前"项和).已知无穷数列｛匕｝的的通项公式是"®，若数列｛仇｝满足b円,bn+i-bn=-（w>1）,求数列｛b”｝的通项公式.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为碣+】=%+f（n）。四、累乘法:利用恒等式色=4鱼乞・・・上匚（％工0,让2）求通项公式的方aa2an-法称为累乘法，累乘法是求型如：an+]=g（n
5、）afl的递推数列通项公式的基本方法（数列g（〃）可求前〃项积）。反思：用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为atl+l=g（n）aft.五、构造新数列（待定系数法）：将递推公式6/n+1=qaH+d（q,d为常数，gHO,dHO）通过a+i+x）=q（Q〃+x）与原递推公式恒等变成Q”+i+上一=q（Q”+上一）的方法叫构造新数列，也即是待定系数法。q-q-例5、己知数列｛。”｝中，t/j=1,an-2aft_｝+（n>2）,求｛%｝的通项公式.反思：构造新数列的实质是通过（匕田+x）=g
6、（Q〃+兀）来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.C（1六、倒数变换：将递推数列a卄严一（chO,〃hO）,取倒数变成a”+d-=-的形式的方法叫倒数变换。然后就转变为第五种情况，此时色+1cJC将数列｛+｝看成一个新的数列，即再利用“构造新数列”的方法求解。例6、已知数列｛陽｝（neM）中，a｛=,an+l求数列｛陽｝的通项2a八+1公式.反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了。七、特征根法:形如递推公式为an+2=pan^+qan（其中p,q均
7、为常数）。对于由递推公式a*=pa卄i+qan,有ax=a,a2=0给出的数列｛aft｝,方程刀―g=0,叫做数列｛%｝的特征方程。若山是特征方程的两个根，当“H兀2时，数列｛。”｝的通项为an=Ax"~x+，其中A,Brtlax—a,a2=0决定（即把a1,a2,x1,x2和n—1,2，代入a”=Ax~x+Bx「',得到关于A、B的方程组）；当x1=x2时，数列仏｝的通项为％=（/+助）斗J其中A,B由Qi=a,a2=卩决定（即把（7I,a2,x1,x2和〃二1,2,代入=（力+,得到关于A、B的
8、方程组）。例7:数列｛a“｝满足3q“+2一5。卄］+2an=0(/?>09neN),a｝=a,a2=b,反思：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出A,B的用己知量a,b表示的值，从而可得数列｛an｝的通项公式。八、不动点法若a,bHO且ad-bcHO,解"鼎，设-0为其两根I、若QH0,数列｛久_：a„~P｝是等比数列;II、若Q=0,数列｛—i—｝是等差数列。an~a7a-2例8、已知数列｛aj满足山+严益輛‘a严2,求数列｛an｝的
