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1、高中数学三角函数【知识网络】【概念梳理】1.角的概念和弧度制。(1)在确定一个角的大小时，不仅要看它的始边与终边的位置，还要看它是按什么方向旋转而成，这样一来，角的范圉就推广到了任意角。⑵角度制与弧度制换算的关键是180。=兀，注意两种度量需统一。弧度制将角的集合与实数集合R之间建立了对应关系。(3)象限角、轴线角的范围都是用终边相同的角来表示的区域角。判断给定角是第几象限角一般是将角转化为0。到360。之间终边相同的角来判定。2.三角函数的定义。(1)在直角坐标系中，设任意角a终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r=*
2、/x2+y2,则sina=£cosa=*,tana=±由此可得以实数x为自变量的三角函数y=sinx,y=cosx和y=tanx^x#^+2k7r(kZ)^o(2)任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P在终边上的位置无关;角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应。(3)三角函数的值在各象限的符号有如下口决：一全正、二正弦、三正切、四余弦。依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限。2.同角三角函数基木关系⑴平方关系：sin2
3、a+cos2a=1,商数关系：tana=sinacosa。(2)应用：①已知角a的一个三角函数值可以知一求二，注意依据三角函数值确定角Q的终边所在的彖限。②在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中的三个技巧:“1”的代换sin2a+cos2a=1；切化弦；sina±cosa平方整体代换。4•诱导公式(1)诱导公式可概括为k号±a的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限。其中的奇、偶是指号的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化。若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数；若是偶数倍，则函数名称不变。符号看象限是
4、指把a看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。(2)利用诱导公式，可以把任意用的正弦，余弦函数值化为锐角三角函数值，其步骤为：负化正，大化小，锐角求值。化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互补关系，从而简化解题过程。5.三角函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=temx图象i1yyi[y託勢rx丸每2/o粤左定义域RR(JIZ2，kn+m~J(kWZ)函数y=sinxy=cosxy=tanx值域[—1,1][-1,1](—8,+OO)最值JIx=2kJi+—时，y.碎=1;x—2k“2时，^min=—1x=2kn时，
5、y唤=1;x=2kn+ji时，ymin=—1无最大、最小值周期性T=2nT=2JiT=Ji奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性JI在2kJi—,2kn+JI■y(kez)上都是增函数；在2k肌+*,3Jlz、2kn+£(kWZ)上都是减函数在[2kn—n,2kn](kez)±都是增函数；在[2k肌，2kJi+ji](keZ)上都是减函数在每个区间kn2,kn+y(kez)±都是增函数对称性轴对称图形，对称轴JI方程是x=k兀+—,k^Z；中心对称图形，对称中心(kJi,O)kez轴对称图形，对称轴方程是x=kJi,kez；中心对称图形，
6、对称中心(JiAkJi+—,0,kGZ中心对称图形，对称中kn心(亍0)⑴函数y=sinx和y=cosx的周期是2n,y=tanx的周期是兀；函数y=Asin（3x+4））和『=Acos（3x+d））的周期是2兀
7、3
8、,y=Atan（3x+“）的周期是兀I3I。（2）利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内。求形如f（3x+d））（f为sin,cos,tan）的单调区间时，采用整体代换的形式将3x+“视为整体求解时注意x的范围即可，注意3及f符号对单调性的影响。6.五点作图与图象变换（l）
9、y=sinx,xe[0,2n]图象上关键五点：（0,0）,兀2,1,（兀，0）3肌2,-1,（2兀，0）；y=cosx,xe[0,2n]图象上关键五点：（0,1）兀2,0,（兀，一1）,3兀2,0,（2兀，1）。五点即为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左向右平移即得正弦曲线和余弦曲线。⑵函数y=sinx的图象变换到函数y=Asin（3x+©）的图象时，法则是针对自变量x和因变量y,左加右减，上加下减。途径是相位变换周期变化w（>0）f振幅变换A（A>0）和周期变换3（3>0）—相位变化4）（4）HO）—振幅变换A（
10、A>0）o注意二者平移量不同。⑶依据y=Asin（3x+（I））的图象可以确定周期和振幅，依据图象上的特殊点可确定A,3,4）,可得对应的函数解析式。
