高二数学 指数函数知识讲解 新人教A版必修1

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1、指数函数百科名片指数函数图像例子指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1)(x∈R).它是初等函数中的一种。它是定义在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。目录[隐藏]数学术语底数的平移：底数与指数函数图像：幂的大小比较：定义域：实数集R值域：（0，+∞）　分式化简的方法与技巧指数函数图像与指数函数性质之间的对应关系　　[编辑本段]数学术语　　4用心爱心专心指数函数是数学中重要的函数。应用到值x上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还叫做欧拉数。　　指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀

2、升，在x等于0的时候等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识：d（a^x）/dx=a^x*ln(a)。　　作为实数变量x的函数，y=ex的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以任意程度的靠近它(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。　　有时，特别是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如kax的函数，这里的a叫做“底数”，是不等于1的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e的指数函数。　　指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1)(x∈R)，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道

3、，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得　　如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。　　在函数y=a^x中可以看到：　　（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，　　同时a等于０函数无意义一般也不考虑。　　（2）指数函数的值域为大于或等于0的实数集合。　　（3）函数图形都是下凸的。　　（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。　　（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半

4、轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。　　（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。　　（7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)　　（8）显然指数函数无界。　　（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。　　（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。[编辑本段]底数的平移：　　对于任何一个有意义的指数函数：　　在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。4用心爱心专心　　在f(X)

5、后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。　　即“上加下减，左加右减”[编辑本段]底数与指数函数图像：　　（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。　　（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。　　（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。（如右图）[编辑本段]幂的大小比较：　　比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，

6、再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。　　比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：　　（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。　　例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1.　　（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。　　例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后

7、随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.　　（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：4用心爱心专心　　<1>对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。　　<2>在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案