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1、椭圆面积公式SFb的探索圆是椭圆的极限图形，当椭圆的长轴长与短轴长无限接近吋，椭圆的焦点无限地接近,椭圆接近于圆，圆的面积为S=冷,猜想椭圆的面积S=mb,其中当a-b-r时椭圆的面枳就是圆的面枳。如何证明椭圆的面枳公式S=mb2值得探索。一、椭圆面积公式S=7iab的探索具备知识22(1)椭圆的标准方程：一+=l(6f>/?>0)aby—acos&(2)椭圆的参数方程：一，*a>b>aewR为参数)y=hsin0—rcos&-.(r>0,R为参数)y=rsin0(4)二面角的平面角&求法之一：射影面积法COS&二丄，其中$表示二面角一个半平面S内的平面
2、图形的面积，该平面图形在另一个半平面内的正射影图形的面积为$(5)封闭图形在线性坐标变换下而积的比例关系：x=Q+by若封闭曲线C:f(x,刃=0卜之“》封闭曲线c'：g(兀,y)=0,封闭曲线C的面积S与封闭曲线C'的面积S'满足比例关系：S':S="b=ad-bc.cd(6)f(x)dx的求法:a①牛顿莱布尼兹公式:[bfMdx=F(b)_F(a),其中F(x)表示导函数/(x)的原函数,Ja即Fx)=f(x)b②几何法：f/(兀)久表示函数y=/(x)的图像与直线x=a,x=b,兀轴围成图形的面积Ja的代数值.③换元法：=g⑴且单调增⑴)％二、椭
3、圆而积公式S=7nib的探索一学生在初中学习过圆的面积s=7rr2证明，把圆分成2n等分的小扇形，再把2n个小扇形分成两份，将其中的n个小扇形与另一份n个小扇形交叉拼成一个近似的大矩形，此矩形长近似为圆的周长的一半加，宽近似为圆的半径八当nT+oo时，大矩形的面积即为圆的面积，受此圆的面积探索的影响，椭圆的而积也可采用分割取极限的方法去探索。在椭圆22C:兰y+各=1(。>b>0)内作圆O:/+〉，2=b2，再在两条直线y=—b,y=h作n・l条间crb~距相等的平行直线厶仏仏，…,/心，交y轴分别为q,@，°3,…,°心，与圆O交点弦分别为Ad，人…,人
4、_囤_],与椭圆C交点弦分别为CIDI,C2D2,C3D3,,n-1条直线将椭圆C和圆O都分成n个小长方形条。从中任选取一个小长方形条CQP+C+1作代表，面积记为耳，其中小长方形条AQ4+Q+I，面积记为耳，心1,2,3厂异・作一个圆心在原点，半径为a的大圆：x2+y2=a2f连结OBi+l,并延长交大圆于E屮,设ZB^OX=6,过点耳+i作兀轴垂线交直线厶+】于M申,则点B屮(bcos&,bsin&),&+](dcos0,asin0),有(X—acos0(a>b>0,eeR为参数)知点M,+]y=bsin&在椭圆上且与b/+1重合，所以小长方形条G99
5、+C+I面积冲=
6、O0+】
7、x
8、G+P+』,又
9、G+Q+』=2
10、Oj+e+」，/.sf-2O0+i
11、x
12、Q+]£)/+]=2O0+]xacon0=2aOtOi+i-cos0同理计算：・・・S；«
13、O0+]
14、x
15、4+Q+]
16、=2
17、O0+]
18、x
19、Oj+Q+[
20、=2b
21、OQi+]
22、.
23、cos01:•s「Sj=、其中i=123,・・・/・9119・•・($1+$2+*+•••+S；)：0]+$2+$3■*ab当n4-00时，椭圆的面积S:圆的面积S=a:b,又圆的而积S’二卅,椭圆的而积S=7Hib三、椭圆面积公式S=mb的探索二水平放置的圆柱被一个倾斜
24、角为&的平面所截，截面图形为椭圆而，该椭圆在圆柱底面的正投影图形为一个圆，即为圆柱的底面圆，设该圆的半径为b,面积为S'=7ib2,设椭圆的面积为S,椭圆的长轴长为2仇,短轴长为鮎•由二面角的平面角射影面积求法知:cV?hhCOS&二二其中&为倾斜平而与水平而形成的锐二而角,=,又cos0=-=-sconB2aa•2譬“b,故椭圆的而积公式“如a四、椭圆面积公式S5b的探索三22由椭圆:二+L=1(g>方>0)知，不妨取椭圆在笫一象限的图像，有ay=b1-”；,xw(0,d],设椭圆的面积为S,则由定积分的儿何意义知:又2-x2dx表示半径为d四分Z—圆弧
25、:y=与直线x=a.y轴、兀轴围成图形的面积，即为圆的四分之一面4A1/•S=—X—7R12-7lClb,故椭圆的血积公式S—7Ulb.a4五、椭圆面积公式S=nab的探索四22在平面直角坐标系xoy屮，椭圆的标准方程为二+£=l(d>b>0),另建立一个平▼•1x=—x而直角坐标系兀oy,利用坐标变换f将椭圆变换到坐标系xoy中方程为：y=~rybx2+y2=l,该方程表示单位圆，面积为S'=兀.由封闭图形在线性坐标变换下面积的比例关系知：椭圆的面积S与单位圆的面积S'满足比例关系：s：s=a0=丄X—-0x0=—ahabAS=Sab=mb,故椭圆的血积
26、公式S=mb.六、椭圆面积公式S=7Hlb的探索结语历年高考题大多
