集合是数学中最为基本的概念

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1、集合是数学中最为基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的一个分支。G.康托尔是作为数学分支的集合论的奠基人。1870年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。然而，朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。1901年罗素发现了有名的罗素悖论。1932年康托尔也发表了关于最

2、大基数的悖论。集合论的现代公理化开始于1908年E.策梅罗所发表的一组公理，经过A.弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。另外一种系统是冯.诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。集合是不能精确定义的基本概念。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如：方程x2－1＝0的实数解集合；26个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是

3、自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法，前一种方法是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。例如A={a，b，c，…，z}Z={0，±1，±2，…}谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如集合B＝{x

4、x∈R∧x2－1＝0}许多集合可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-1，1}。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。集合的元素是彼此不同的，如果

5、同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素，如{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}集合的元素是无序的，如{1，2，3}＝{3，1，2}元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作∈，不属于记作，例如A＝{a，{b，c}，d，{{d}}}这里a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，但bA，{d}A.在本书所采用的体系中规定集合的元素都是集合。为了体系上的严谨性，我们规定：对任何集合A都有AA。显然对任何集合A都有AA。隶属关系和包含关系都是两个

6、集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。例如A＝{a，{a}}和{a}既有{a}∈A，又有{a}A。例定义6.1设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B，记作BA。如果B不被A包含，则记作BA。定义6.2设A，B为集合，如果AB且BA，则称A与B相等，记作A＝B。如果A与B不相等，则记作A≠B。相等的符号化表示为A＝BAB∧BA定义6.3设A，B为集合，如果BA且B≠A，则称B是A的真

7、子集，记作BA。如果B不是A的真子集，则记作BA。真子集的符号化表示为BABA∧B≠A定义6.4不含任何元素的集合叫做空集，记作。空集可以符号化表示为＝{x

8、x≠x}。定理6.1空集是一切集合的子集。右边的蕴涵式因前件假而为真命题，所以A也为真。证：任何集合A，由子集定义有Ax(x∈→x∈A)推论空集是唯一的。根据集合相等的定义，有1＝2。证：假设存在空集1和2，由定理6.1有12，21。含有n个元素的集合简称n元集，它的含

9、有m(m≤n)个元素的子集叫做它的m元子集如A＝{1,2,3}，将A的子集分类：0元子集，也就是空集，只有一个：；1元子集，即单元集：{1}，{2}，{3}；2元子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；3元子集：{1,2,3}。一般地说，对于n元集A，它的0元子集有个，1元子集有个，…，m元子集有个，…，n元子集有个。子集总数为++…+＝2n个。定义6.5设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集，记作P(A)(或PA，2A)。定义6.6在一个具体问题中，如果所涉及的集合

10、都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E。幂集的符号化表示为P(A)＝{x

11、xA}不难看出，若A是n元集，则P(A)有2n个元素。定义6.7设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B对A的相对补集A－B分别定义如下：A∪B＝{x

12、x∈A∨x∈B}A∩B＝{x

13、x∈A∧x∈B}