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1、第三章线性方程组［自测题解答］§1消元法判断题1.(T)；2.(T)=1解答题"2-130<2-131、<2-131]4-254T001-2T001-22-148丿<0017丿.0009丿A1.解线性方程组解：①对增广矩阵进行初等行变换:‘1318、厂1318、"318、27218->0102->0102,310427丿、0113丿<0011；/A心)=3,心)=2.所以方程组无解.②对增广矩阵进行初等行变换：<1307>‘1001、01020102<0011；,0011,r(A)=3,r(A)=3方程
2、组有唯一解西=£③对增广矩阵进行初等行变换：<1318><1318>〔1318><1012、4=27218T010201020102,31()326丿102)0000丿000///K=2-k<£—2kePr(A)=2,r(A)=29方程组自无穷多解x3—k■2.解:对增广矩阵进行初等行变换:Q111>r12才、A=121T01-A1—才1-23才丿(0A-11一久2-才Z111、111)—1A1T0000当2=1时，J12才丿/<0000;/=1-兀2J：二x2兀2，兀3为自由未知量.,方程组有无穷多解
3、当2H1时,11><11才、<112A+2、A=121ZT011+兄1+A+Z2T01-1-A<>1A才丿701-1—A/(00几+2（几+1匚当2H1,但恥二-2时,々］11r<11A护、A=1；112->01_1-2J112227001/,方程组无解.当2H1.冃2H-2R寸Q111)12才、/112才、A=1A12T01-1-2T01-1<11A才丿002+2"+1)2001(几+1)2/2+2丿/、(100八」+叫10A+122+2兄+2010WT010(2+1)J几+22+2001仇+1)200
4、1仇+1)2兄+2)2+2方程组有唯一解xi5畔-2+2"+1)2=§2-§3〃维向量空间•线性相关性一、判断题1.(F)；2.(T)；3.(F)；4.(T)；5.(F)；6.(F)；7.(T)；8・(T)；9.(T)；10.(T)二、解答题1.解：令(123,0)=k{(1,2,0,1)+灯(0,0,2,0)+k3(1,0,1,1)+k4(1,1,1,1)得到一线性方k、+k4-—12k、+心=22k,°+心+k4=3程组x.=-—k12兀2-2/兀3=_¥x4=k3k、=l.k^=—=0,kA容易求出
5、该方稈组的解为:取k=0得到方程组的一组解~2330=a、+—(72+0©3+0(742",所以k、+*3+a=12.解：以QiSSSS为彳亍作一-矩阵A‘1-124><1000、‘1000、0312031201003074T331-8T310-101-120100-4100-4<2156,<231—2丿<210—4丿A=⑦42，$；©2,^344；等都是极大无关组.3.证明:/(Qi+a2)+k2(a2+(73)+利用反证法证明.若线性无关，令心S]+如)=0,则&+k3)ax+伙]+k2)a2+(k2+
6、k3)a3=0由a{,a2,a3线性无关,所以人+心=0&+*2=0,他+心=°,容易求岀k}=k2=k3=0故a〕+a2,a2+巾0】+如线性无关，与已知矛盾.所以QiSS线性相关.4•证明：因为0=匕內+心42+・・・+忍一1色一1+匕匕.，显然(否则0可由內。2,…，&一线性表示），从而色可由创22，・・・心7，0线性表示，即以］,色'…'色Uj由0,。2'ar-，0线性表示；同理UJ证,。2，…'ar-'PUj'由…心线性表示•故的42,…，务，与wsm，0等价.5.证明：若西0
7、+兀202+・
8、・・+£几=0,则（X）+x2k}+・••+xt.kr_}）6Z）+x2a2+…+xrar=0,因为內,&2,…，匕线性无关，所以坷+%2心+…+兀*泊=0,兀2=0,…，£=0,进而坷=0.故A=502=如+也，・・・，0「+色线性无关.6•证明：因为向量组內。2,…D可由久02，・・・，0「线性表示，所以e，M，…,％的秩不大于0］，02，・・・，0『的秩.而少皿2,…，％的秩等于厂，所以01，02,…/的秩大于等于厂，故妙，02,…/的秩等于厂•所以“，02,…,Q线性无关.§4矩阵的秩填空题1•矩阵
9、的行向量组的秩，矩阵的列向量组的秩，秩；2.矩阵的秩小于m1.系数矩阵的秩等于m4.非零数.二、解答题1.解：对矩阵进行初等变换<04101><17173、<17173、A=4818748187->0-20-50-510184017101840170-52-130-13<>7173丿1（）41()b<04101><17173、<17173、0410104101T041()1T0000<0410[丿<000所以心）
