高等代数基础习题5

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1、第五章二次型§1二次型的矩阵表示［自测题］填空题1.下列各式中<1r1窗/、X]<1-2、(xA（兀］,花）（C）<-45,6(；(D)兀I")<-25,宀丿(A)2.上题中是二次型屛+4旺兀2+5卅的矩阵.3.二次型2卅+6兀宀+4卅的矩阵是.4.二次型/（“，兀2，兀3，兀4）=2兀“一坷兀3+2勺兀3+近的矩阵是'12、/、、—24,（坷宀）二次型的矩阵是6.矩阵24丿对应的二次型是—‘13、7.矩阵（T2丿对应的二次型是8.二次型经线性替换化为判断题1.二次型f=X，AX经线性替换化为二次型

2、g=YfBYf人B是对称矩阵，则①人〃等价；②人〃合同.2.二次型f=^fAX经菲退化线性替换化为二次型g=YfBYfA,〃是对称矩阵，则①等价；②合同.3.若二次型f=X'AX=X'BX，则a=B.4.人〃合同，则人〃等价.5.人3等价，则A"合同.三、解答题1.若人1，人2合同，〃1'〃2合同,7、证明<场丿合同.2•证明：如果A是刃级对称矩阵，且对任意刃维向量X,^XfAX=O，则A=0,§2标准形［自测题］1.分别用配方法和合同变换法将下列二次型化为标准形，并求所用的线性替换：(］)—3兀］

3、—2兀］尤。+2兀］兀3—6尤2兀3•(2)4jV］X->—2%jX^6.矩阵24丿对应的二次型是—‘13、7.矩阵（T2丿对应的二次型是8.二次型经线性替换化为判断题1.二次型f=X，AX经线性替换化为二次型g=YfBYf人B是对称矩阵，则①人〃等价；②人〃合同.2.二次型f=^fAX经菲退化线性替换化为二次型g=YfBYfA,〃是对称矩阵，则①等价；②合同.3.若二次型f=X'AX=X'BX，则a=B.4.人〃合同，则人〃等价.5.人3等价，则A"合同.三、解答题1.若人1，人2合同，〃1'〃2

4、合同,7、证明<场丿合同.2•证明：如果A是刃级对称矩阵，且对任意刃维向量X,^XfAX=O，则A=0,§2标准形［自测题］1.分别用配方法和合同变换法将下列二次型化为标准形，并求所用的线性替换：(］)—3兀］—2兀］尤。+2兀］兀3—6尤2兀3•(2)4jV］X->—2%jX^—2兀2兀3几2•■•■■2.求证■<&丿与A*7合同•其中，1“2,…丿”是1,2,…/的一个排列.3.用合同变换将下列对称矩阵为对角矩阵.<22-3、<2-2°〕25-4,B=-21-2<-2-45丿<0-2。丿4.

5、证明：秩为厂的对称矩阵可以表示成厂个秩为1的对称矩阵Z和.§3唯一性［自测题］一、填空题1.秩为广的复二次型的规范形,秩为厂的复对称矩阵合同于对角矩阵.2.复斤对称矩阵A"合同的充要条件是,4"等价的充要条件是,二次型XfAX,YBfY经非退化的线性替换可以互化的充要条件是.3.斤级实对称矩阵合同的充要条件是,等价的充要条件是,二次型X久丫经非退化的线性替换可以互化的充要条件是.4."级复对称矩阵按合同分类共有类.5•〃级实对称矩阵按合同分类共冇类.二、解答题1・写出下列复二次型的规范形（1）/（兀

6、）=（一1一。恥2+2诚;（2）/（x1,x2,x3,x4）=2x1x2+2兀3兀4.1.将实二次型/3，花宀）=2州兀2+2小3-6兀2®化为标准形，并求其秩、正负惯性指标和符号差.2.实二次型的秩为厂，正负惯性指标分别为证明心PF有相同的奇偶性，且~r

7、如果对任意一组_"，。2,…,C”都有/（（?］心,…,C“）,其规范形为・2.负定二次型的规范形是・3.设人B是刃级正定矩阵，下列矩阵是正定的.kA,"A,AB,A±B,CfAC（C工0）,kA+lB（k,l>0）二、解答题1.用三种方法证明二次型-8兀2®是正定的.f(x},Xj,x3)=2xy+5x；+5xj+4%］兀2-^}x32.r取何值时,二次型/（州,兀2，心）=时+2近+3球+2旺兀2_2旺兀3+2饥2®是正定的.3•若A是可逆方阵，证明必‘仏止定.第五章测试题一、填空题1.(

8、2、/、X】,83,宀丿/(xl,x2)=(x1,x2)二次型的矩阵是时，线性替换x=cy是非退化的.2./（坷宀宀）=斤+6卅+6小2的矩阵是,矩阵表示式是.3.若4』是〃级正定矩阵，则A~BA-B,AB屮不是正定的.4.两个实二次型经非退化的线性替换可以互化的充要条件是.5.实二次型/（坷宀，…耳）是不定的，其规范形是（"分别是/的秩与正惯性指标）.二、解答题1.用非退化的线性替换化下列二次型为标准形：+兀；+xj++2xtx2+2x2x3+2兀3兀4f取何值