推理与证明复习指导

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1、推理与证明复习指导对于数学的学习，应具备“能力”，-其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式.通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力.一.推理部分1.知识结构：演绎推理和情推理推理2.和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理.①归纳推理：山某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具冇这些特征的推理，或冇个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其屮一■类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特

2、征的推理称为类比推理.③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；阳类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论.但是结论的可靠性冇待证明.例如：已知f(n)=-n2+5n-3,可以/(1)=1>0,f(2)=3>0,/(3)=3>0,/(4)=1>0,于是推出:对入任何neN都有/(n)>0；而这个结论是错误的，显然有当h=5时，/(5)=-3<0.因此，归纳法得到的结论有待证明.例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条肓线垂玄的两条肓线平行“；

3、显然此结论是错误的”.类比线•面得到：在空间打同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的.④推理过程：从具体问题出左—观察、分析、比较、联想一归纳、类比一猜想.3.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理(逻辑推理).①定义特点：演绎推理是由一般到特姝的推理；②数学应用：演绎推理是数学屮证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：i大前提：已知的一般原理(M是P)；ii小前提：所研究的特殊情况(S是M)；iii结论：由一般原理对特殊情况作出判断(S是P)；集合简述：i大前提：xeMRx具

4、冇性质F；ii小前提：yeSH.ScM；iii结论：y也具有性质P；例题1・若定义在区间D上的函数/（兀）对于D上的卅个值兀］宀,・・・£，总满足丄“（州）+/也）+…+/匕）］§/（U"…卞），称函数/⑴为Dnn上的凸函数；现已知/（x）=sinx在（0,龙）上是凸函数，则ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是.解答：由丄［/（X

5、）+.f3）—f（^„）］f（——）（人前提）nn因为/（%）=sinx在（0,兀）上是凸函数（小前提）3^3~T得/(幻+f(B)+/(C)<3/(A±£±£)(结论)BPsinA+

6、sinB+sinC<3sin-因此,sinA+sinB+sinC的最大值是2注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型1.和情推理与演绎推理的关系：①和悄推理是由特殊到-•般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理;②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的町靠性;x—XX—X例2・设f(x)="+",g(x)=a~a(其中d〉0且dHl)22（1）5=2+3请你推测g（5）能否用/⑵J⑶,g⑵,g（3）来表示;（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由/⑶g⑵+g（3）/（2）3er+a22

7、a1_a5-cC5_22-又g(5)=因此，g⑸=/(3)g⑵+g(3)/(2)⑵由g(5)=/(3)g(2)+g⑶/*(2)即g(2+3)=/(3)g⑵+g(3)/(2)于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)x—XX—X证明：因为：fM=a+a,g(x)=a~a(人前提)所以g(兀+y)=g(y)=—T-—，/(y)=—，(小前提及结论)所以于(兀)g(y)+g⑴f(y)""222-=gCx+y)解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2)是此题的一大难点

8、，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).二.证明部分1・知识结构2.综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过—•系列推理论证，推导出所要证明的结论成立.②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止.③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起來使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程.例3.已知：a〉b〉O,求证：(a-b)2

9、b)2Sa28b证明：因为a>b>0所以警a+b<(Q-疔8b<=>(Q—方尸4a<(奶-丽)2<旦!4h<=>Id—bl,f-rr,a-b——<1Ja-yjh<——f=-2y[a2y/by[a+4br需+丽orr①<=>又由己知a〉b〉0,因此，J

10、<1<成立.山于