数形结合思想在高考数学中的运用

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1、数形结合思想在高考数学中的运用数形结合思想是高屮所学数学思想屮一种极其重要的思想，是高考中经常考查的内容,尤其是在选择题、填空题中,数形结合思想是重要考查点，因此，灵活掌握和运用数形结合思想解答选择题、填空题，是取得高考高分的关键•本文就刚结束的2014高考为例,就高考选择题、填空题中所考查的数形结合思想做一浅要探究.数形结合思想是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像进行结合和相互转化，以寻找解题思路•在解数学题中，利用数形结合思想可优化解题过程，使复杂问题简单化，快速准确解决问题•著名数学

2、家华罗庚也曾说：“数形本是两依倚，焉能分作两边飞•数缺形时少直观，形少数时难入微・”可见，数学中的数和形要紧密结合，不可分离.2014年高考考试大纲明确指出要重视数学思想方法的考查，而数形结合思想就成了高考中的重要考点•高考中数形结合思想的考查主要集中在选择题、填空题中•因此，灵活巧妙的运用数形结合思想可有针对性的在解决高考选择题、填空题屮发挥奇特的功效，能在提高数学解题正确率的同时，大人提高解题速度，为简答题以及检查试卷争取时间，为得高分奠定基础.数形结合常包括以形助数、以数助形、数形互助三个方面•下面就以2014年高考数学试卷为例，分

3、别就这三个方面对数形结合思想进行说明.一、以形助数以形助数就是通过由形到数的转化，通过研究直观的图像性质来帮助解决数的问题，以达到数形结合，解决问题的目的•在高考选择题、填空题中，考查数形结合思想主耍考查的即是以形助数.例1（2014年辽宁）已知a=2-13,b=log213,c=logl213,则（）(A)a>b>c(B)a>c>b(C)c>a>b(D)c>b>a图1解析:这是“数”比较大小的问题，有一定的难度，但考虑到将数转化成形，以形助数，问题就变的简单了•由题意画岀三个函数y二2-x,y=log2x,y=logl2x的图像，如图1

4、,由图像可得当x二13时,c>a>b.注：对于函数比较大小的问题，借助函数的图像进行观察分析，以形助数，可更直观更快速地解决问题.例2（2014年全国）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（兀6,兀2）是减函数，则a的取值范围是■图2解析：观察到函数f（x）可先化为只关于sinx的函数f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+l.下面令t=sinx进行换元，则f(x)可转化为函数f(t)-2t2+at+l(OWtWl),这是一个关于t的二次函数•这里还耍注意t的取值范围是OWtWl.现在问题就转化成了二次函数的

5、性质问题•即得到f(t)二-2t2+at+l(OWtWl)在区间(12,1)上是减函数•画出f(t)图像，如图，开口向下，对称轴为t=a4,由图像可得*12,所以xW(-00,2],故a的取值范围是(-8,2].注：三角函数是一类特殊的函数，在研究其单调性时，一般采用的是研究三角函数的性质，但若得到的三角函数式是一个二次函数时，则就需换元，通过研究二次函数的图像来解决问题.图3例3(2014年山东)已知函数f(x)=

6、x-2

7、+l,g(x)=kx•若方程f(x)二g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()(A)(0,12)(B)

8、(12,1)(C)(1,2)(D)(2,+OO)解析：注意到f(x)含有绝对值，先分类讨论，当x—220,即x22时，f(x)=x-2+l=x~L当x~2<0,即x<2时，f(x)=2-x+l=3-x.在坐标轴中作出f(x)的图像，如图3,f(x)的图像最低点是(2,1),g(X)=kx过定点(0,0)・所以通过图形可看出g(x)过原点和(2,1)时斜率最小为12,斜率最大时g(X)的斜率与f(x)=X-1的斜率一致，即k=l.故k的取值范围为(12,1),选(B).注：方程的解的问题，可通过方程所表示的几何意义与图形建立联系,以形助数，

9、将方程所表达的抽象数量关系转化为图形的位置关系来解决.二、以数助形涉及到图形的问题，大多数都借助数的知识，转化为数的关系进行研究，这就是以数助形的方法•运用代数知识研究图4几何问题，以数助形，是数形结合思想的另一方面.例4(2014年福建)若函数y=logax(a>0且aHl)的图象如图4所示，则下列函数图像正确的是()解析：由题目所给图像可知，函数过点(3,1),即loga3=l,所以得到沪3•将沪3依次带入(A)(B)(C)(D)四个选项屮，并观察(A)(B)(C)(D)中函数表达式所对应的图像，很显然(A)(C)(D)错误，故选(B

10、).注：数与形相互对应，把图形中隐藏的数量关系找出來，将“形”的问题转化为“数”的问题，以数助形，是解决图形问题的一个好做法.三、数形互助在常规解题中，有时会将上述两种形式结合起来，既以形助数