江苏省2015年高考数学考前指导：导数与函数（邮中）

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1、导数与函数两题(江苏省高邮中学)题目1：已知/'(x)=lnx-x+l(xwR*),=mx-5>0).(I)判断两数『=/(兀)的单调性，给出你的结论；(II)设0,讨论函数y-/(x)的图象与直线g(x)=mx-(in>0)公共点的个数;(III)若数列｛%｝的各项均为正数，q=l,在m=2时,色+严/(色)+gg)+2(72G/V*),求证：-1.变式：求证：—!—+—!—+•••+—!—>丄1+Q]1+禺1+cin211-X解：(I)求导fx)=—一1=——，由fXx)=0得x=l.XX当"(0,1)时,fx)>0:当XG(1,4-00)

2、时,fx)<0.所以函数y=/(兀)在(0,1)上是增函数，在(1,+-)上是减两数.(II)当x>0时，函数y=f(x)的图象与直线g(x)=mx-(m>0)公共点的个数等价于

3、

4、

5、

6、线与直线y=m(m>0)公共点的个数.令心)=1心+2_1,则所以/2Z(1)=0.xx"e当XG(O丄)时，hx)>0,比)在(0丄)上是增函数;ee当XG(-,+oo)时，hx)<0,/?(X)在(-,+oo)上是减函数.ee所以,h(x)在(0,十8)上的最大值为/?(—)=e-l>0,e如图：于是%1当0

7、)=mx-1(加〉0)有2个公共点;%1当zn=e-l时,函数y-/(%)的图象与直线g(x)=mx-l(m>0)有1个公共点；%1当m>e-l时,函数y=/(x)的图象与直线g(x)=mx-l(m>0)有0个公共点.(III)由题意，正项数列｛%｝满足：4=1,an+i=Inan++2由(I)知：/(%)=lnx-%+l0)由已知条件知an>0,an+]=Inan+a”+2Wa”一1+%+2=2ati+1,故°申+152(匕+1),所以当n>2时，Ov空士!^52,0<^-<2,…，d]+1十10<^-i

8、+1<2,0<-^-!-<2,以上格式相乘得：乂也=1,故an-2+1an-l+1+1d”+152",即azi<2M-l,对刃=1也成立.所以有an<2n-l(neAT*)(*).理科生此题也可用数学归纳法证明，证明如下：当71=1时，6(,=1<2*-1,即(*)成立；假设n=k时,ak<2k-1成立,那么,当n=k+1时，由(I)知：/(x)=lnx-x+l0)于是ak+]=lnak+ak+2

9、.变式的证明如下：由an<2n-lf得%+152",所以有111、111I1、1++•••+>-+—+•••+—=1>一,1+41+色1+%222X2"2即1»—(77€N*).1+di1+禺1+a”2说明：此题是一道函数、数列与不等式的综合问题，共设置三问，难易梯度明显.笫问(I)考查基本函数的单调性，比鮫简单；第(II)问在考查函数单调性的同时，述重点考查了函数的图象，渗透数形结合思想，由于解决时要将原问题“讨论函数y=/(x)的图彖与直线[ICg(x)=mx-l(/n>0)公共点的个数”转化为“讨论曲线y=1与直线y=mx(加>0)公共点的个数”

10、，这-•转化有一定的思维难度，因此难度明显人于第(I)问；第(III)问考查数列与不等式，证明数列与不等式时，代数变形的难度较大，其变形的冃的性不好把控，是真正的压轴点所在.题目的来源与发展：此题的第(III)问川了第(I)问的更深一步的结论，也是一个常遇到的结论：对于x>0,不等式lnx0)与函数y=x的

11、图象的公共点的个数,当0vkvl时，有2个公共点；当£=1时，有1个公共点；当£>1时，有0个公共点.这么看，第(II)问与笫(I)也有渊源，因为“设兀〉0,讨论函数y=/(兀)的图彖与直线g(x)=mx-1(m>0)公共点的个数”就是等价于研究“方程lnx-兀+1=血兀一1(m>0)解的个数”，我们对方程作变形处理得ln(ex)=(m+l)%-l,即77?+17?74-1ln(^x)=——(ex)-l,若令t=ex.k=——,即有hu=竝一1,这样问题就回归到直ee^y=kx-1(k>0)与函数y=Inx的图象的公共点的个数的问题上.这么看，本题的第

12、(ID(III)两问，都是在简单的第(I)问的基础上向前发展起来的。对于直线y=x+1与y=e