线性代数中的数值计算

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1、第4章线性代数中的数值计算黑龙江大学电子工程学院【本章学习目标】掌握生成特殊矩阵的方法。掌握矩阵分析的方法。掌握求解线性方程组的各种方法。了解矩阵的稀疏存储方式。目录4.1特殊矩阵的生成4.2矩阵分析4.3线性方程组求解4.4矩阵分解4.5超越函数运算4.6稀疏矩阵的处理4.1特殊矩阵的生成4.1.1通用的特殊矩阵zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。eye函数：产生单位矩阵，即对角线上的元素为1、其余元素为0的矩阵。rand函数：产生0～1均匀分布的随机矩阵。randn函数：产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机矩阵。这几个函数的调用格式相似

2、，如果这个函数的参数只是一个，那么MATLAB将会创建一个方阵，行数和列数均为这个参数；如果这个函数的参数有两个，那么第一个参数代表行数，第二个参数代表列数。下面以产生零矩阵的zeros函数为例进行说明。zeros函数的调用格式如下。zeros(m)：产生m×m零矩阵。zeros(m,n)：产生m×n零矩阵。当m=n时，等同于zeros(m)。zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。【例4.1】分别建立3 × 3、3 × 2和与矩阵A同样大小的零矩阵。（1）建立一个3 × 3的零矩阵。zeros(3)ans=000000000（2）建立一个3 × 2的零矩阵。zero

3、s(3,2)（3）设A为2 × 3矩阵，则可以用zeros(size(A))建立一个与矩阵A同样大小的零矩阵。A=[123;456];%产生一个2×3阶矩阵Azeros(size(A))%产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵【例4.2】建立随机矩阵：（1）在区间[10, 30]内均匀分布的4阶随机矩阵。（2）均值为0.6、方差为0.1的4阶正态分布随机矩阵。产生(0,1)区间均匀分布随机矩阵使用rand函数，假设得到了一组满足(0,1)区间均匀分布的随机数xi，则若想得到在任意[a,b]区间上均匀分布的随机数，只需用yi=a+ (b−a)xi计算即可。产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机

4、矩阵使用randn函数，假设已经得到了一组标准正态分布随机数xi，如果想更一般地得到均值为μ、方差为σ2的随机数，可用yi=μ+σxi计算出来。针对本例，命令如下：a=10;b=30;x=a+(b-a)*rand(4)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(4)4.1.2面向特定应用的特殊矩阵1．魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1，2，3，…，n2共n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。【例4.3】将101～125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行、

5、每列及对角线的和均为565。一个5阶魔方矩阵的每行、每列及对角线的和均为65，对其每个元素都加100后这些和变为565。完成其功能的命令如下：M=100+magic(5)M=1171241011081151231051071141161041061131201221101121191211031111181251021092．范得蒙矩阵范得蒙（Vandermonde）矩阵的最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。A=vander(1:

6、4)A=11118421279316416413．希尔伯特矩阵希尔伯特（Hilbert）矩阵是一种数学变换矩阵，它的每个元素hij= 1/(i+j− 1)。在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)formatrat%以有理形式输出H=hilb(4)H=11/21/31/41/21/31/41/51/31/41/51/61/41/51/61/7H=invhilb(4)formatshort%恢复默认输出格式4．托普利兹矩阵托普利兹（Toeplitz）矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。生成托普利兹矩阵的函

7、数是toeplitz(x,y)，它生成一个以x为第一列、y为第一行的托普利兹矩阵。这里x、y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。T2=toeplitz(1:4)T2=12342123321243215．伴随矩阵生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，为了求多项式的x3− 7x+ 6的伴随矩阵，可使用如下命令：p=[1,0