基于矩阵论的电路网络拓扑分析

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1、基于矩阵论的电路网络拓扑分析【摘要】电路分析是电子专业领域人员必需的一项能力。该知识具有概念性强、电路分析繁杂、求解计算量大的特点。为了缓解此问题，因此引入了矩阵理论，并结合MATLAB软件对矩阵分析的良好支持，以期达到优化分析电路的目的。本文就矩阵理论中的网络拓扑知识展开，介绍了网络拓扑在电路中的应用，并以给予MATLAB求解。【关键词】电路分析；矩阵法；网络拓扑0前言矩阵是线性代数里的一个重要概念，在电路网络分析、工程结构分析等方面，矩阵都是一个强自力的工具，因为它能使较复杂的计算过程简化成一系列的四则运算，便于用计算机的算法语言或程序进行描述和解

2、答，当运行这些程序时，能迅速地得到较准确的计算结果。电子领域基础知识电路分析中，经过理论分析后形成线性方程组，求未知解是电路分析的一项基本技能。而求解线性方程组使用矩阵理论，优势十分明显。例如某电路网孔法求网孔电流、、，其中电阻、供电电压为已知。网孔方程为：（1）上述方程（1）在求解过程中相对简单，但如果未知量继续增多，则利用初等代数方法求解线性方程组就比较困难，相当繁杂。借助矩阵理论，可将方程式（1）变换为如下矩阵形式：矩阵形式方程（2）可表述为。（A表示方程组系数矩阵；I表示网孔电流列向量；表示网孔电源列向量。)1网络拓扑性质的矩阵表示当电路结构比

3、较简单时，直接利用KCL、KVL或网络的各种方法列出必要的方程并不十分困难，但当电路结构比较复杂时，前述方法就显得很不适应，特别是如何在计算机上把输入的数据自动地转换为所需要的方程，就需要利用网络拓扑和矩阵代数的概念去完成这一任务。网络图论又称为网络拓扑学，适应用图的理论，对电路的结构及其连接性质进行分析和研究。在网络分析中，列写网络方程的主要问题是如何正确地选择其独立变量，“网络图论”的基本概念为选取这种独立变量提供了理论依据。网络图论的基本概念包括：支路(Branch)、节点(Node)、图（Graph)、树（Tree)、回路（Loop)、割集（C

4、ut)等。在网络图论中，图所涉及的仅表明网络中各支路的联接情况，而不涉及元件的性质。即它只是用以表示网络的几何结构（或拓扑结构）的图形。1．1关联矩阵关联矩阵：描述支路与节点的关联图1所示有向连通拓扑图有如下特征：节点数n=4，支路数b=5。图1关联矩阵有向连通拓扑图图2回路有向连通拓扑图关联矩阵A中行对应于节点，列对应于支路。取值1、-1表示支路与节点关联，并体现出流出或流入节点，取值0表示不关联。其中KCL方程：AI=0；KVL方程：U=ATV。其中A为关联矩阵；I为支路电流列向量；U为支路电压列向量；V为n-1个独立节点电压列向量。1．2回路矩阵

5、回路矩阵：描述支路与回路的关联性质具有独立回路如图2所示有向连通拓扑图有如下特征：节点数n=4、支路数b=6；树支数n-1=3，连支数b-(n-1)=3。若选定支路b1、b2、b3为树支，则b4、b5、b6为连支。行对应一回路，列对应一支路。1．3割集矩阵割集矩阵：描述支路与割集的关联性质。具有割集状态如图3所示有向连通拓扑图有如下特征：节点数n=4、支路数b=6;树支数n-1=3，连支数b-(n-1)=3。若选定支路b1、b2、b3为树支，则b4、b5、b6为连支。基本割集为单树支割集如3所示。割集矩阵C中行对应于基本割集，列对应于支路。KCL：CI

6、=0；KVL：。为割集电压列向量。图3割集矩阵有向拓扑图图4基本电路结构1．4A、B、C与节点法、回路法的关系根据关联矩阵A、回路矩阵B、割集矩阵C基本知识，分析图4所示电路结构可得如下关系：（1）标准支路伏安关系：（2）矩阵支路伏安关系：（其中为支路导纳矩阵，等于阻抗的倒数）（3）支路电压与节点电压关系：（4）支路电流关系：（5）节点电压关系：（其中；）2利用节点法求解电路具体实例图5电路结构图2.1节点法求电路各支路电流、支路电压（1）图5所示左图为电路结构，右图为其拓扑图。选定地点作为参考点，对其余节点分别编号为①、②、③；（2）拓扑图支路分别编

7、号为1、2、3、4、5并按图中所示选定支路方向。（3）列出相关矩阵。；；（4）求解矩阵参数、。；；（5）计算结果。由此可知：①点电压为0.68V；②点电压为0.04V；③点电压为-0.48V。2．2利用MATLAB实现计算机程序求解A=［10010；-11100；0-1001］；=［10000；01000；00300；00020；00001］；=［000-10］；=［0000-1］；；；；3结束语通过对电路的矩阵论分析，充分体现了数学优势所在。实际使用中，网络拓扑理论既达到了优化电路求解的目的，又实现了数学的学科转移，真正做到了学以致用。实践证明，基于

8、矩阵的网络拓扑分析和电路求解的完美结合，使电路分析趋于简单。