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《高二数学人教B版必修4学案：131正弦函数的图象与性质二含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.3.1正弦函数的图象与性质(二)【明目标、知重点】1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义2会求函数y=Asin((ox+(p)的周期.3.掌握函数y=siav的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.填要点•记疑点1.正弦曲线从函数图象看，正弦函数y=sirvc的图象关于原点对称;从诱导公式看，sin(—x)=—siar对一切x^R恒成立.所以说，正弦函数是R上的豈函数.2.函数的周期性(1)对于函数/(工)，如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足•血土Q=心)，那么两数沧)就叫做周期函数，非零常数厂叫做这个函数的圃期.(2)如果在周期函数.心)的所有周期屮存在一个最
2、小的正数，那么这个最小正数就叫做./(X)的最小正周期.3.正眩函数的周期由sin(x+2ht)=sinx知正弦函数y=sx是周期函数,2kn(kWZJlZrHO)都是它的周期,最小正周期是2n.探要点•究所然［情境导学］自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数的定义知，角a的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性.探究点一周期函数及函数的周期的定义思考1观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2兀个单位重复出现其理论依据是什么？答诱导公式si
3、n(x+2/v7r)=siiu伙GZ).当自变量x的值增加2兀的整数倍时，两数值重复出现.数学上，用周期性这个概念來定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.思考2设/(x)=sinx,则sin(x+2hi)=sinx(£WZ)可以怎样表示？把函数/(x)=sinx称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？答.心+2/血)=心)伙WZ)这就是说：当口变量x的值增加到x+2k7i时，函数值重复出现.一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个非零的常数卩，使得定义域内的每一个x值，都满足.心+门=心)，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，非零常数卩叫做这个函数的周期.小结为了突出函数的这
4、个特性，我们把函数/(x)=sinx称为周期函数，2刼为这个函数的周期(其中kWZ且WHO).思考3正弦函数，=sinx的周期是否唯一？正弦函数尹=5说丫的周期有哪些？有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？答正弦函数y=siar的周期不止一个.±2兀，±4兀，±6兀，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2gkWZ且kHO)都是它的周期.正弦函数^=sinv有最小正周期，且最小正周期7=271.小结如果非零常数T是函数y=f{x)的一个周期，那么Wez且£H0)都是函数y=J{x)的周期.探究点二函数y=/sin(ftzr+0)(力＞0,eHO)的周期思考怎样求函数/(x)
5、=/sin(亦+切的最小正周期？答由诱导公式一知：对任意xER,都有/sin[((wx+0)+2Tr]=/sin(ex+0),所以/si+(p戶/sin(ex+g),所以.=Asin(cox+(p)(co0)是周期函数，万就是它的一个周期.由于X至少要增加茴个单位，几兀)的函数值才会重复出现,因此，诗是函数,f(x)=Asin(cox+^的最小正周期.例1求下列函数的周期.(1)y=sin(2x+号(xeR)；(2)y=
6、sin2x
7、(xWR).解(1)方法一令z=2x+号，Vx^R,/.zER,函数f(x)=sinz的最小正周期是2兀，就是说变量z只要且至少要增加到z+2tc,函数./
8、(x)=sinz(zWR)的值才能重复取得，7TIT而z+2ti=2x+扌+2兀=20+兀)+彳，所以自变量x只要且至少要增加到x+兀，函数值才能重复取得，从而函数./(x)=sin@+3(xUR)的周期是兀.方法二/(x)=sin(2x+扌2兀的周期为(2)作出尹=
9、sin2x
10、的图象.X7T由图象可知，y=
11、sin2x
12、的周期为亍.反思与感悟对于形如函数y=/sin(ex+°),eHO时的周期求法常直接利用丁=两来求解,对于y=Asincux的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1求下列函数的周期.(1)J*=COS(2)y=(1)^=—sinp;,(2妙=T=牛><*=2兀.2
13、探究点三正弦函数的奇偶性正弦曲线思考1答正弦函数y=sinx的图象关于原点对称.思考2上述对称性反映出正弦两数有什么性质？如何从理论上加以验证?答正弦函数是R上的奇函数.根据诱导公式得，sin(-x)=-sinx,均对一切xWR恒成立.例2判断下列函数的奇偶性.(l)/(x)=sin(-(2)/(x)=lg(l—sinx)—lg(l+sinx)；解(1)显然xGR,/(x)=cos㊁x,・•・./(兀)是偶函数.1—sinv>0⑵白
