初等函数的连续性.ppt

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1、二、初等函数的连续性1、四则运算的连续性定理1例如,2、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.定理3意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续例1解例2解同理可得例3例4例5例6定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,3、初等函数的连续性★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★(均在其定义域内连续)定理5基本初等函数在定义域内是连续的.定理6一切初等函数在其

2、定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.注意1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意2.初等函数求极限的方法代入法.例7求解它的一个定义区间是例8解三、闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。1、最大值和最小值定理定义:例如,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1

3、.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证2、介值定理（中值定理）定义:几何解释:abABMmC几何解释:例2推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1判断方程在[-1,2]上是否有根？例2证由零点定理,注①方程f(x)=0的根函数f(x)的零点②有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间法）：先作辅助函数，再利用零接法（辅助函数点定理辅助函数的作法（1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x（2）移项

4、使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。四、小结连续函数的和差积商的连续性.反函数的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.