《计算机数学基础》数值部分第四单元辅导.doc

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1、《计算机数学基础》数值部分第四单元辅导一、重点内容1.二分法：设方稈•心)二0在区间d刃内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列:[a,b]z>[atbi]z>[d2,仇]=>••=bn]=>...x◎产—(an+bj(Qo=d,bo=b),〃=O,1,2,...有误淤估计式：,川=0,1,2,...二分有根区间次数：/?+1>ln(/?~6/)-ln/In22.迭代法(1)简单迭代法：若方程fix)=0表成x=g),于是有迭代格式:xn=(p(xn-])(71=1,2,...)limxn=x*=©(l

2、im兀_)=)HTS?l—>co再校正值改进值x“+i=0(兀“+])一(x“+

3、-X!)2X...,=兀“+]-=心+i-2xn+1+兀"+1若存在00X1,代数列收敛。0(x)10,迭代解数列一定收敛。4.弦截法：用两点连线与x轴交点逼近曲线/(x)与x轴

4、的交点。迭代公式为二、实例例1证明方程l-x-sim-=0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5XKT1的根要迭代多少次？证明令f(x)=—x—sinx•・•/(0)=1>0,/(l)=-sinl<0・•・/(x)=l-x-sinx=0在[0,1]有根。又才(兀)=1一cosx〉0Gw[0,1]),故/•&)=0在区间[0,1]内有唯一实根。给定谋差限£=0.5X10二有^ln(/.-.)-ln^1=-ln0.5+4lnl0_1=132877ln2ln2例2用迭代法求方程?-4x-2=0的最

5、小正根。计算过稈保留4位小数。［分析I容易判断［1，2］是方程的有根区间。若建立迭代格式r4_oY5—75r4x=-——，即0(兀)=-―,

6、0(x)

7、=—>l(xe(1,2))，此时迭代发散。44114建立迭代格式x=孙4x+2,(p(x)=V4x+2,

8、0(x)

9、=—,4:<—(1

10、=#4尢0+2=循^1.4310x

11、2=#4兀］+2=*7.724祖1.5051x3=*4天2+2=V8.0204«1.5165x4=彳4心+2=V8.066«1.5182x5=+2=V8.0728«1.5185取兀*q1.5185例3试建立计算亦的牛顿迭代格式，并求"411.791的近似值,要求迭代误差不超过10-5［分析］首先建立迭代格式。确定取儿位小数，求到两个近似解Z差的绝对值不超过io-解令X=/(X)=X3-6Z=0,求兀的值。牛顿迭代格式为林+i=xk-」y=xk_丄=~xk伙='A/U)k3x；3'3xl迭代误差不超过IO",计

12、算结果应保留小数点后6位。当*7或8时，汪343或512,于⑺厂⑺<0,而/⑻厂⑻>0,取妒&有2a2o411.791八Xk——XqH=—x8u7.4780782411791

13、3°3对33x822a=—X{Hr〜3

14、3卅=0.038122-x7.439956+—""卩、匕7.43976033x7.439956?2a-3・3兀;卜2-勺2aX4=—兀q74333童于是,取X*«7.439760例4用弦截法求方程x3-x2-l=0,在*1.5附近的根。计算屮保留5位小数点。0.000196-x7.439760+―4

15、"旳=7.43976033x7.4397602［分析］先确定有根区间。再代公式。解心)=£—/—1,川)二一1,^2)=3,有根区间取［1,2］取x尸1,迭代公式为=Xn心)兀2=无

16、一—~~；——(兀I一“))=2—：xlul.25兀

17、_山一兀°+兀041.253-1.252-1““…X,=1.25；:——:——rx(1.25-2)«1.3766221.25j-1.252-23+22…1.376623-1.376622-1.“、x4=1.37662；；；x(1.37662-1.25)«1.488811.376

18、623-1.376622-1.253+1.252a,=1.48881‘I碱川十刚—x(1.48881-1.37662).1.463481.488813-1.488812-1.376623+1.376622146348s-14634S2-1x6二1.46348、x(1.46348-1.48881)«1.465531.463483-1.463482-1.488813+1.488812取Tu