专题03 函数值域(最值)的求法(观察法等).doc

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1、第03讲：函数值域（最值）的求法（观察法.分离常数法.配方法.反函数法和换元法）【考纲要求】1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的值域。2、理解函数的最大值、最小值及其几何意义。【基础知识】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域。二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。三、常见函数的值域1、一次驗〉+的值域为R.2、二次函数p=ox，+bx+c（aH0）,当a>0HJ的值域为值域为『4ac—b1f4a3>反比例函数错谋！未找到引用源。的值域为错误！未找到引用源。.4、指

2、数函数错误！未找到引用源。的值域为错谋！未找到引用源。.5、对数函数错误！未找到引用源。的值域为R.6、需函数错误!未找到引用源。的值域为R,帚函数错误！未找到引用源。的值域为错误!未找到引用源。。7、正弦函数错误！未找到引用源。、余弦函数错谋！未找到引用源。的值域为错谋！未找到引川源。，正切函数错误!未找到引用源。的值域为R,余切函数错误！未找到引用源。的值域为R・四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法等。五、函数的值域一定要用集合或区间来表示。六、函

3、数的值域和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值。方法一使用情景解题步骤【方法讲评】〔的解析式主要是一些简单的特殊的函数组成。观察法利用这些特殊函数的性质，结合不等式推导函数的值域。例1求函数y=3-坂的值域。解57Vx>0/.-Vx

4、x

5、是非负暫己5「¥）壬彳非负数/（4>0且4工1）是一个正数.駆这醱的性质后，可以很快得到驗的值域【变式演练1】求豳/（X）=3+MF的值域.方法二分离

6、常数法使用情景函数是对称的分式函数错误！未找到引用源。。解题步骤一般先利用分式的除法将分式分离成一个常数和一个分式函数，再求函数的值域。例2求函数错谋！未找到引用源。的值域。解：错误！未找到引用源。・・・错误！未找到引用源。・・・错误！未找到引用源。即函数的值域是｛y

7、yeR且仔1｝【点评】对于对称的分式闕y=竺列或》=料+兹+*,常利叭｝式的匕法分离汽厶ax+iax4-ix+c再求函数的值域.【变式砂2]求函数V=2工一乂+12x-l的值域.方法二配方法A-4-CUXt：CP庾用尽—般是二次函数或可以化成二次函汽前甬数「解題步骤—般先对二次函数配方，再四图观察

8、得到函数的值域.例3求函数y=X2_2X+5,xW[—1,2]的值域。解：将函数配方得：y=（x-1）'+4VXg[-1,2J由二次函数的性质可知：当错误！未找到引用源。“时,Vmin=4,当x=-l时，Ymax故函数的值域是[4,8]【点评】对于二次函数，常用配方法求函数的值域。先配方，再利用二次函数的图像和性质求函数的值域。【变式演练3】求函数错误！未找到引用源。的值域。方法四反函数法使用情景已知函数比较容易求反函数。解题步骤先求已知函数的反函数，再求反函数的定义域，最后利用反函数的定义域就是原函数的值域关系得到原函数的值域。例4求函数错误！未找到引用源。的

9、值域。解：错误！未找到引用源。反解得错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。因为反函数错误！未找到引用源。的定义域为错谋！未找到引用源。，反函数的定义域即是原函数的值域，所以原函数的值域为错误！未找到引用源。[I【点评】(1)当礙是分子、分母只含有F项的豳阿有理分式夕空),TR可I沢湘反i域.(2)利用反强法求画取的值域，利用的知识点是取的定〈域是原旺的值域”.【变式矽4】求函/(X)=土值域.5x+6方法五换元法使用情景函数的解析式结构较复杂，函数的变量较多且相互关联。解题步骤一般先引进一个新元代替旧元，再求新函数的值域。例5求函数y=x+仮二T的值域。解：

10、令低二I=r(rnO),则兀="+］••-y=t?12y=-(t2-l)+t+l=-(t+l)22+t-»」=(t+y+扌又tno，由二次裁:的性质可知当t=o时，y血=1当t->o时，yTxo,故陲敗的值域为［匕*0)【点评】(1)对形如/(x)=ox+b+后育的碱，可恥虑吃G消掉匕式，化尺个二次豳.(2)在任何地方换元，都軽E意新元的取值范围，它就是新瓯的定义域.例6已知x满足不等式错误！未找到引用源。.(1)求错谋！未找到引用源。的取值范围；(2)求函［错误！未找到引用源。的最小值。解：(1)错谋！未找到引用源。(2)错误！未找到引用源。【点评】(1)当豳

11、中某一^复杂的式子反复出