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《高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介课堂导学案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、四 柱坐标系与球坐标系简介课堂导学三点剖析一、已知直角坐标求柱坐标【例1】设点M的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标.解：由变换公式得ρ2=x2+y2=12+12=2,∴ρ=.又tanθ==1,∴θ=(M在第Ⅰ卦限).故M的柱坐标为(,,3).温馨提示可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点
2、的位置,只是描述的角度不同.类题演练1设M的直角坐标为(1,,4),求其柱坐标.解:由公式得ρ2=1+3=4,∴ρ=2.又tanθ==,∴θ=.∴柱坐标为(2,,4).变式提升1设M的柱坐标为(2,,7),求直角坐标.解:由公式得ρ2=x2+y2=4,又tan==,∴y=x.∴y2=1.∴y=1,x=.∴直角坐标为(,1,7).二、已知直角坐标求球坐标【例2】设点M的直角坐标为(1,1,),求它的球坐标.解：由公式得r==2,由rcosφ=z=,得cosφ=,φ=.又tanθ==1,θ=.∴点M的球坐标为(2,,).类题演练2设M的直角坐标为(,-1,
3、1),求它的球坐标.解:由公式得r==2,由rcosφ=z得cosφ=,φ=.又tanθ=,∴θ=π-arctan.∴球坐标为(2,,π-arctan).三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题【例3】已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB=14,AD=6,AA1=10,以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB,AD,AA1分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.解析：如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C1点的(x,
4、y,z)分别对应着CD,BC,CC1,C1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC,∠BAC,CC1，C1点的（r,φ,θ)分别对应着AC1,∠A1AC1,∠BAC.解:C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(,arctan,10)，C1点的球坐标为(,arccos,arctan).温馨提示应当注意,在球坐标系中,当点P在z轴上,θ不确定;点P与坐标原点O重合,φ与θ都不确定.类题演练3经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2384千米，地球半径为6371千米，此时经度为80°，纬
5、度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标.解:在赤道平面上，选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2384千米，地球半径为6371千米，可知r=2384+6371=8755千米.∴点P的球坐标为(8755km,15°,80°).变式提升2两平行平面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan,θa),B(25,π-arctan,θb)，求出这
6、两个截面间的距离.解:由已知,OA=OB=25,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π-arctan,在△AOO1中,tan∠AOO1==.∵OA=25,∴OO1=7.在△BOO2中,∠BOO2=arctan,tan∠BOO2==.∵OB=25,∴OO2=20.则O1O2=OO1+OO2=7+20=27.∴两个截面间的距离O1O2为27.
