例谈高中数学一题多解和一题多变的意义.doc

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1、例谈高中数学一题多解和一题多变的意义摘要：高中数学教学中，用一题多解和一题多变的形式，可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。关键词：一题多变一题多解创新思维数学效果sina=l—COS乙很大部分的高屮生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣•但山于高考“指挥棒叩勺作用.又只能换着头皮学•如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧J很多人认为要学好数学就是要多做・固然，多做题H可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得我觉得要使初生学好数学，首先要提高学生的学习兴趣

2、和数学思维能力。根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程屮可以利用书本上的例题和习题,进行对比、联想,采取一题多解与一题多变的形式进行•教学•这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的令效途径。下面举例说明：3例题：已知tana=°，求sina,cosa的值分析：因为题中有since、cosa、tana,考虑他们之间的关系，故容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：3sina法一根据同角三角函数关系式仙2=4=cosa,且sina2a+cos2a=l。164两式联立，得Lli:cos2a=25,cosa=5或者433cosa=-5:j

3、fgsina=5或者sina=-5。分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“I”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：3法二tana=°：a在第—、三象限在第一象限时：cos2a=2—COS^——1—162?2sin5+cosa」+tana=254cosa=5而在第三象限时:cosa=-sina=-5分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：3sina法三tana=°=COSCtcosasina-丁二丁cos«sina<->4=3=土l~.~~22psm°+COSaj42+3234/.sina=5,cosa=534或sina=-

4、5,cosa=-5分析：上面从代数法角度解此题，如果单独考虑since、cosa、tana,可用定义来解此题。初中时,三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法來解之：3法四当a为锐角时，由于lane4,在直角△ABC中,设a=A,a=3x,b=4x,则勾股定理,得,c=5xBC3AC4sinA=,cosA=人〃=534/.sina=5,Cosa=5或sina=-5,cosa=-5分析：用初屮三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高屮的定义解此题，因为适用范围更广：法五当a为锐角时，如下图所示，在单位圆中，3设a=ZAOT,因为tana=°,则

5、T点坐标是T(l,MPOMOPVAOMP<^AOATA=OA=OT4343Asina=5,cosa=534或sina=-5,cosa=-'分析：圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法來解此题：解法六，如上图，易求出直线0T的方程和单位圆的方程3y=4X；x2+y2=I4x=—534x=——5)=4343T点坐标是PC5,_5)p(5,5)34Asina=Icosa=534cosa=-分析：先考虑sina、cosa两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式來帮助解决此问题：3sina解法七tana=°=COSCX4sina-3cosa=0山三角

6、函数辅助角公式得，345sin(a+(p)=0,其中,sin(p=5,cos(p=5a+(p=kK,kWZsina=sin(k7r-(p)=sin(pa在第一、三象限34・；容易求出sina=5,cosa=534或sina=・5,cosa=-5分析：仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题：解法八，山二倍角公式，得，ca2tan—22a3'-tan24tana=厶=〒aa3lan22+8tan2-3=0aa1/.tan2=-3,或tan2=3cos宀•aa2sin—cos—22.2a2asin亍+cos乙asina=2sin2ra2tan—2f

7、2a1+tan3Asina=53cosa=54或sina=-5,cosa=-5判别式此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题，这里就不再赘述。下面展示木题的变式与推广：变式1:己知tana=-3＞求sinacosa的值变式2：已知tana=m求sinct,cosa的值变式3:sina=m,求cosa,tana的值山上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂屮來，从HU激发学生对数学学习的兴趣和信心。一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法，这有助于拓宽解题思路，捉高学生分析问题的能力：一道数学题通过联想、类比、推广，可以得到一系列新

8、的题其至得到更一般的结论，这有助于学生