n阶行列式的定义.ppt

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1、第三节n阶行列式的定义第一章行列式㈡n阶行列式的定义小结思考题作业㈠概念的引入目录上页下页㈠概念的引入上页下页目录引例1在布满棋子的3×3棋盘上，从不同行、不同列取三个棋子(如下图)，问共有几种取法？332112用(i,j)表示一个棋子所在的行、列依次从第1,2,3行取一个棋子三个棋子处于不同列(1,q1)(2,q2)(3,q3)q1,q2,q3必须是1,2,3的某个排列解共有3!=6种取法.上页下页目录引例1在布满棋子的3×3棋盘上，从不同行、不同列取三个棋子(如下图)，问共有几种取法？332112用(i,j)表示一个棋子所在的行、列依次从第1,2

2、,3行取一个棋子三个棋子处于不同列(1,q1)(2,q2)(3,q3)q1,q2,q3必须是1,2,3的某个排列解共有3!=6种取法.上页下页目录不同行、不同列的三个棋子：(1,q1)(2,q2)(3,q3)举一反三：其中，列标q1,q2,q3取1,2,3的所有可能排列.(p1,q1)(p2,q2)(p3,q3)行标p1,p2,p3取1,2,3的一个特定排列.列标q1,q2,q3取1,2,3的所有可能排列.(p1,1)(p2,2)(p3,3)行标p1,p2,p3取1,2,3的所有可能排列.(p1,q1)(p1,q2)(p3,q3)列标q1,q2,q3取

3、1,2,3的一个特定排列.行标p1,p2,p3取1,2,3的所有可能排列.上页下页目录引例2问题(1)：如上形式的乘积，共有几种可能？(行标排列为231，列标是1,2,3的所有可能排列)从不同行、不同列取三个元素相乘，并表示为：设有一个33的数表：3!=6种★上页下页目录问题(2)：令乘积带有符号，即其中，t1是行标排列231的逆序数；t2是列标排列q1q2q3的逆序数.写出全部6个可能的乘积.★上页下页目录问题(3)：将以上6项的代数和与3阶行列式的算式进行比较，有何结论？★上页下页目录问题(4)：在代数和中，各项的符号一半为“正”，一半为“负”，

4、为什么？★对于每一项，由于行标排列采用相同的3元排列，故逆序数t1相同.于是符号取决于各项的列标排列的逆序数t2(q1q2q3).q1q2q3取所有可能的3元排列，奇、偶排列各占一半(参见上节思考题)，故代数和中的符号正负各半.上页下页目录问题(5)：在代数和中，如果改变任意一项中三个元素的相乘顺序(这不会改变乘积结果)，问：会改变该项的符号吗？如果在乘积中交换两个元素的位置，则这两个元素的行标排列和列标排列同时发生一次对换，于是，t1和t2的奇偶性同时改变，但(t1+t2)的奇偶性不变.不会改变该项的符号.★上页下页目录结论3阶行列式是若干项的代数和

5、：●每项都是不同行、不同的3个数相乘(共3!项)；●每项都带有符号，t1是行标排列的逆序数；t2是列标排列的逆序数.(各项的符号一半是正的，一半是负的：符号取决于是哪3个数相乘，但与相乘的顺序无关；).其中，行标p1,p2,p3取1,2,3的一个特定排列.列标q1,q2,q3取1,2,3的所有可能排列.反之亦可.上页下页㈡n阶行列式的定义目录上页下页目录定义由n2个数aij(i,j=1,2,…,n)组成的n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个数的乘积的代数和，即其中数aij为行列式的(i,j)元][简记为det(aij)，上页下页目录“”表示对列标

6、(或行标)排列的所有可能求和.带有符号，正负各半.其中t1,t2分别是行标排列和列标排列的逆序数.p1,p2,…,pn取1,2,…,n的一个特定排列，q1,q2,…,qn取1,2,…,n的所有可能排列.是位于不同行、不同列的n个元素的乘积(共n!种可能)；反之亦可.其中上页下页目录说明(2)根据定义，一阶行列式，注意不要与绝对值记号相混淆.(1)两种常用的定义表达式：t是列标排列的逆序数.元素的行标排列采用标准排列(t1=0)t是行标排列的逆序数.元素的列标排列采用标准排列(t2=0)上页下页目录例1六阶行列式中，含如下乘积的项带什么符号.解法一列

7、标排列的逆序数为行标排列的逆序数为所以该项应带“+”号.或者，行标排列偶数次对换标准排列列标排列偶数次对换标准排列行标排列、列标排列都是偶排列，该项带“+”号.上页下页目录解法二此时，列标排列的逆序数为所以该项应带“+”号.交换元素位置，使行标排列变成标准排列，即此时，行标排列的逆序数为所以该项应带“+”号.解法三交换元素位置，使列标排列变成标准排列，即上页下页目录例2试判断是否是六阶行列式中的项.所以，不是六阶行列式中的项.交换元素位置，使行标排列变成标准排列列标排列的逆序数，该项应带“+”号.下面进一步判断乘积所应带有符号：解是6个不同行、不同列元

8、素的乘积；上页下页目录一些特殊行列式的计算公式(1)(非主对角线元全为零，即，当ij时，ai