black-scholes公式的推导 - 鞅方法(风险中性定价方法)

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1、B-S模型假设：1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相同的回报，均为无风险利率r；2、市场上没有交易费用；3、市场的交易可以连续进行；4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）；5、证券在期权存续期内无红利发放；6、资产价格服从几何布朗运动模型：dS=µσSdt+SdWtttt其中，W是标准布朗运动，µ是证券的期望增长率，σ是证券的波动率。风险中性定价方法：风险中性定价原理表达了资本市场中的这样的一个结论：即在市场不存在任

2、何套利可能性的条件下，金融衍生证券的价格与投资者的风险态度无关的。在理想的风险中性世界中，首先，投资者并不要求任何的风险补偿，所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率r；其次，正由于不存在任何的风险补偿，市场的贴现率也恰好等于无风险利率r，所以基础证券或衍生证券的经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅（Martingle），所以现值的风险中性定价方法又称为等价鞅方法（MartingalePricingTechnique）。~−r(T−t)+故V=E(e(S−K)

3、Ft)t

4、T−r(T−t)+=eEˆ((S−K)

5、Ft)，T设在客观测度P下，S的动态为：dS=µσSdt+SdW，0≤≤tT,tttttS111t由Itoˆ公式可得:d()=Sd()+dS+⋅dSd(),tttBBBBttttSSSttt于是有d()=()µσ−+rdtdWtBBBtttdSB()ttµ−rµ−r~即=dt+dW，令=θ,W=θt+W,，tttσσ⋅SBσttSS~tt从而d()=σdWtBBttTTµµ−−rr12−−∫∫dWt()dt由Girsanon定理，令QA()=ZdP,其中Z=e00σσ2，在新测度∫TTA

6、~StQ下，W是鞅，在新测度Q下也是鞅。tBt于是S在等价鞅测度Q下的动态为：tSS~1rdtS~~tttd()=σdWt⇒dSt⋅−St=σdWt⇒dSt=rStdt+StσdWt，BBBBBttttt12~12~(r−σ)t+σWt(r−σ)T+σWTS=Se2，故S=Se2其解为：t0T0于是可以求出V。012~(r−σ)T+σWTV=e−rTEˆ((S−K)+)=e−rTEˆ((Se2−K)+)，0T0~令W=TZ,Z~N(0,1)T12(r−σ)T+σTZ12KSe2>K⇒(r−σ)T+σTZ>ln02S01K12⇒

7、Z>(ln−(r−σ)T)，σTS021212∞(r−σ)T+σTz1−z⇒V=e−rT(Se2−K)+⋅e2dz0∫0−∞2π1212∞(r−σ)T+σTz1−z=e−rT(Se2−K)⋅e2dz∫1K120(ln−(r−σ)T)2πσπS02=J−J121K121S012令d1=−(ln−(r−σ)T)=(ln+(r−σ)T)，σTS02σTK21212−rT∞1−z−rTd11−z−rTJ=eK⋅e2dz=eK⋅e2dz=eKN(d)，2∫−d∫−∞112π2π1212∞(r−σ)T+σTz1−zJ=e−rTSe2⋅e2

8、dz1∫0−d12π12∞rT−(z−σT)1e−rTSe2⋅dz=，∫0−d12π1S012令u=z−σT,d2=d1+σT=(ln+(r+σ)T)，σTK212∞rT−u1J=e−rTSe2⋅du，1∫0−d22π12d2−u1=Se2⋅du=SN(d)，0∫−∞022π−rT所以，V=SN(d)-eKN(d)。0021注1：Itoˆ引理是随机分析中的链法则。Itoˆ过程是有如下形式的过程：ttXt()=S(0)+∆()udW+Θ()udu.∫∫u00或者可以写成微分形式：dX(t)=Θ(t)dt+∆(t)dW.t令X为I

9、toˆ过程，ftx(,)为实值函数且偏导数ftx(,)，ftx(,)及ftx(,)均ttxxx有定义且连续，1则dftX(,)=++ftXdt(,)ftXdX(,)f(,)tXdXdX.tttxttxxttt2注2：Girsanov定理：令W(0≤≤tT)为概率空间(,,)ΩFP上的布朗运动。设tF(0≤≤tT)为相应的域流，并设θ()(0t≤≤tT)，是与此相适应的过程。对0≤≤tTt~ttt12定义：W=θ(u)du+W,Z=exp−−θθ()udW()udu；t∫0ttu∫∫002并定义一个新的测度，对任意A

10、F∈，定义PA()=ZdP；则在新测度下P下，∫TA~过程W(0≤t≤T)仍是布朗运动。t注3：Feynman-Kac定理：考虑随机微分方程dX=αβ(,)uXdu+(,)uXdW.uuuu设hy()是Borel可测函数。固定T>0并给定tT∈[0,]。定义函数tx,gt