black-scholes公式的推导及其求解 -复制方法

《black-scholes公式的推导及其求解 -复制方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、B-S模型假设：1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相同的回报，均为无风险利率r；2、市场上没有交易费用；3、市场的交易可以连续进行；4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）；5、证券在期权存续期内无红利发放；6、资产价格服从几何布朗运动模型：dS=µσSdt+SdWtttt其中，W是标准布朗运动，µ是证券的期望增长率，σ是证券的波动率。复制方法：卖期权的机构拿到期权金C0后,需要把这个资金拿去投资，构造一个自融资投资组合把期权的收益完全复制出来以规避风险，而

2、这一点在一个完备市场中是可以做到的。那么这个自融资投资组合在任何时刻的价值就是期权在该时刻的价值。（自融资投资组合：在整个投资期间,没有中间过程资金的注入和抽出）考虑一个自融资投资组合过程Zt，我们记Yt为投资于股票的资金总量,剩下的资金总量Zt−Yt投资于无风险债券,由于Zt是自融资投资组合，故其动态为：dZt=r(Zt−Yt)dt+dYt=r(Zt−Yt)dt+μYtdt+σYtdWt=[rZt+(μ−r)Yt]dt+σYtdWt.（1）记Zt=C(t,St)，由Itoˆ引理得，2∂CtS(,)t∂CtS(,)t122∂∂CtS(,)ttCtS(,)dCtS

3、(,)=σSdW++µσSS+dt，（2）ttttt2∂S∂S2∂∂Stttt比较（1）和（2）得，2∂C∂C122∂C∂CYt=St，rZt+(μ−r)Yt=µS+σS+，tt2∂S∂S2∂S∂t122于是得到：CtS(,)+σSCtSrSCtSrCtS(,)+−=(,)(,)0。tsss2求解Black-Scholes偏微分方程：要进行多次变化，将Black-Scholes偏微分方程变为热传导方程的形式，然后利用Poisson公式求出Black-Scholes偏微分方程的解。∂∂∂CCτ∂C首先作如下换元：τ=Tt−，由此变换公式，推得=⋅=−，这∂∂∂

4、ttττ∂2∂∂CC122∂C−+rS+σS−=rC0样原偏微分方程就变为：2（1）；∂∂τSS2∂CSSK(0,)=(−)+TT接下来设sS=ln，这样∂∂∂CCs1∂C=⋅=⋅;∂∂∂SsSSS∂22∂∂∂C111CCC∂∂=()⋅=−⋅+⋅2222∂∂∂SSSSS∂sS∂s将它们代入方程（1），有22∂Cσ∂∂CC12−+−()r+σ−=rC02（2）；∂τ22∂∂ssCSSK(0,ln)=(−)+TT2σ这是一个常系数抛物型方程。现在设vsr=+−()τ，u=τ于是有22∂∂∂∂∂∂∂CCuCvCCσ=⋅+⋅=+()r−；∂∂∂∂∂∂∂τ

5、ττuvuv2∂∂∂∂∂∂CCuCvC=⋅+⋅=；∂∂∂∂∂∂susvsv22∂CCC∂∂∂=()=；22∂s∂∂sv∂v代回到方程（2），有2∂∂CC12−σ+=rC02（3）；∂∂uv2CSSK(0,ln)=(−)+TTrv最后我们令Vuv(,)=eCuv(,)，于是有∂∂CV−−ruru=−+reVuv(,)e；∂∂uu∂∂CV−ru=e；∂∂vv22∂∂CV−ru=e；22∂∂vv将它们代回到方程（3），有2∂∂VV12=σ2∂∂uv2VSSK(0,ln)=(−)+TT2∂∂VV12V作为u和v的函数满足的这个方程=σ，在数学物理中这个方

6、程被2∂∂uv2称为热传导方程，因此，利用一维热传导方程的Poisson公式得：2()v−ξ1+∞ξ+−σ2Vuv(,)=∫(e−Ke)2udξ2−∞2σπv222422(ξσ−+(vu))−2vuuσσ−(v−ξ)1+∞−−22=∫()e22σσuu−Kedξ；σπ2vlnK这就是Black-Scholes偏微分方程的解。v−ξ令vS=ln，z=，于是有：Tσu222σuz−z1+∞v+−K+∞22Vuv(,)=lnKv−−σ2uedz−lnKS−lnedz∫∫T22ππσσuu2σvu+=e2Nd()−KNd()；1222vKu−+lnσvK−lnσ其中d=，d

7、=，uTt=−，v=+−lnxr()(Tt−)；12σuσu2最后我们得到期权的价格的解析表达式：2σlnxr+−()(Tt−)−ru−−rTt()2Ctx(,)=eVuv(,)=eVTte(,−)~−r(T−t)~=xN(d)-eKN(d)；12~1x12其中d==(ln+(r+σ)(T−t))，1σT−tK2~1x12d2=(ln+(r−σ)(T−t))。σT−tK2风险中性定价方法：风险中性定价原理表达了资本市场中的这样的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，金融衍生证券的价格与投资者的风险态度无关的。在理想的风险中性世界中，首先，投资者并不要求