初中数学竞赛中的“轴对称”.doc

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1、初中数学竞赛中的“轴对称”陆腾宇（江苏省常熟市昆承中学，215500）许多数学问题所涉及的对象具有对称性，轴对称是常见的形式之一．我们利用轴对称的性质，在探求几何最值、解决生活实际问题等方面有着奇妙的作用．1利用轴对称计算角的度数例1如图，在中，，为形内一点，使得,．求的度数．（2005，北京市中学生数学竞赛（初二））解由，得，．作于D，延长CM交BD于点O，连结OA．易知BD是的对称轴．所以，，．所以．又,所以．又，所以≌．故．由于，从而．因此，．例2如图，在中，，是BC边上的一点，，．试求的度数．解作关于AD的轴对称图形，则

2、，，所以．易知．故，．连结CE，因为，所以≌≌．设O为AE与DC的交点，则．因为，于是．又，则．所以，．2利用轴对称求线段的长度、证明线段相等例3如图，在矩形ABCD中，已知对角线长为2，且，则四边形EFGH的周长为（）A．B．4C．D．6（2010，四川省初中数学联赛（初二））解如图，根据轴对称的性质，的斜边是四边形EFGH的周长．而直角边分别是矩形边长的两倍，又矩形对角线与矩形两边构成直角三角形，因此四边形EFGH的周长是矩形对角线长的2倍．例4如图，在的边AB、AC上分别取点Q、P，使得．求证：．证明：因为．则．作点P关于

3、BC的对称点，连结、．于是，．所以B、、C、Q四点共圆．于是，则．故（夹在平行弦间）．因此，．3利用轴对称求图形的面积例4如图，在中，，I是、的平分线AD与BE的交点．已知的面积为12．则四边形ABDE的面积等于．（2004，北京市中学生数学竞赛（初二））解分别作点E、D关于AD、BE的对称点F、G，则点F、G在AB上，连结IF、IG．易知．由轴对称的性质知，，，．所以．作于H，于K．易证≌．所以．故，即．因此．例5在四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积．解如图，有，，，，于是有．故，在Rt中，．在中，．所以．因此

4、，．4利用轴对称探求几何最值例6如图，，P为角内一点，，两边上各有点Q、R（均不同于O），则的周长的最小值为．（2001年第12届“五羊杯”邀请赛试题）解分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连结MN交OA、OB于Q、R，则△PQR即为符合条件的三角形．如图，由轴对称的性质知，而，所以△ABC的周长．例7河岸同侧的两个居民小区A、B到河岸的距离分别为m、m（即图1中所示m，m），m．现欲在河岸边建一个长度为sm的绿化带CD（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．（1）在图2中画出绿化带的位置，并写出画图过程；

5、（2）求的最小值．（2006，第20届江苏省初中数学竞赛）解（1）如图3，作线段，使，且点P在点A的右侧．取点P关于的对称点，连结交于点D，在上点D的左侧截取，则CD即为所求的绿化带的位置．证明如图3，设绿化带建于另一位置．连结、、、．则由对称性知，，．由CD及AP，知，．但，即．就是．（当且仅当在线段与的交点时等号成立）所以，这样画出的最小．（2）的最小值即为线段的长度．延长，作于H，，则BH，．所以．即的最小值为．练习题1．（1）已知A、B两点在直线MN的同侧，在MN上求一点P，使PA与PB的和最小；（2）若A、B两点在直线

6、MN的两侧，在MN上求一点，使、中较长一条与较短一条的差最大．提示：作法（1）如图1，作点A关于MN的对称点，连结，交MN于点P，则点P即为所求。（2）如图2，作点B关于MN的对称点，连结并延长，交MN于点，则即为所求．2．如图，矩形中，cm，cm，若在、上各取一点M、N，使的值最小，求这个最小值．（1998，北京市初中数学竞赛）解：如图，作点B关于直线AC的对称点，交AC于E，过作于N交AC于点M，则M、N即为所求的点．由，得．所以．易证∽．所以．于是故的最小值为16cm．3．在中，，，O为形内一点，，．求的度数．提示：作于H

7、，因为，所以平分，即．延长交AH于P，则．连结，由对称性知，．所以．因此，．在和中，，，．所以≌．故．因为，所以．4．在中，，，D是边BC上一点，．求证：．（2008，我爱数学初中夏令营数学竞赛）提示：如图，延长BC到E，使．由题设知，则，即是等腰三角形．过点A作于点M，则M为边BE的中点．取BD的中点F，则．连结AF．在Rt中，．5．在矩形ABCD中，，，E、F分别是AB、DC上的点．则折线AFEC长的最小值为．（2009，全国初中数学联赛四川省初赛）提示：如图，分别作点A、C关于DC、AB的对称点、．连结分别交AB、DC于点

8、、，连结、．过作延长线的垂线，垂足为．又，则由勾股定理知．故．当点E、F分别与、重合时，取到最小值．6．在直角坐标系中，已知两点A（，3）、B(，5)以及动点C(0，n)、D(m，0)，则当四边形ABCD的周长最小时，比值为（）A．B．C．D．（2004，第19