RKL方程的周期波解-论文.pdf

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1、2014年5月山西煤炭管理干部学院学报May．，2014第27卷第2期JournalofShanxiCoal——MiningAdministratorsCollegeV0I．27No．2·科学技术研究·RKL方程的周期波解王媛(山西煤炭管理干部学院，山西太原030006)【摘要】本文通过适当的变换，将描述飞秒级光脉冲在光纤中传输特性的包含立方次非克尔效应的高阶非线性薛定谔方程约化为Lihnard方程，借助于Li6nard方程的精确解，得到了RKL方程若干类型的周期波解，在取极限(雅可比椭圆函数的模趋近

2、于1)的情况下，得到了其对应的孤立波解。【关键词】高等数学NLS方程RKL方程椭圆函数解孤立波解【中图分类号】0175．24【文献标识码】A【文章编号】1008～8881(2014)02—0151—03一、引言Li6nard方程是由下面这个式子表示近年来，随着孤子理论的研究和发展，光纤孤()+，()+()+胛()=0子方程由于其具有重要的应用背景，引起了人们的其中l，m，n都是非零实常数。通过适当的变关注，因为它可以用在等离子体、光纤通信、超导场换，一些非线性演化方程能够约化为Li6nard方程，等领

3、域中，是非线性科学中一类非常重要的数学模因此寻找这些非线性演化方程的精确解就转化为型。我们都知道，光纤中光脉冲的传输可以由多种寻找Li6nard方程的精确解。首先我们假设Jaco—形式的非线性薛定谔方程(NLSE)描述。如理想无损biSN(，r)=sn()，JacobiCN(，r)=cn()，JacobiDN耗的光纤满足标准的非线性薛定谔方程(，r)=dn()，其中r(0≤r≤1)是雅可比椭圆函数的iu，+甜+21．1=0模。借助于符号计算软件Maple，计算后得到Li6n它描述的是皮秒级光脉冲在光纤

4、中的传输特性。ard方程3种类型的雅可比椭圆函数解，其中方程但有时我们需要用更高级别的光脉冲来承载信息，中的系数l，m，n需要满足一定的条件，比如亚皮秒级、飞秒级，在这种情况下，三阶色散项~f3m等对光脉冲的传输及其重要。例如，飞秒级光脉冲±·一(4在光纤中的传输特性可由女l】下方程来描述iu：++21I+iau+卢(II)，其中，：，>o，胛<0，(2)+y()，+=0(1)此方程是Radhakrishnan，Kundu和Lakshmanan提出±的，因此，此方程也称为RK1方程，其中，方程中U=U

5、3ml—c，z]]『(z，t)是复包络，d、p、、8分别是三阶色散、自陡峭、自频移以及非线性色散。本文主要通过适当的其>0，(3)变换，将RKL方程约化为Li6nard方程，然后借助于Li6nard方程的精确解，进一步得到RKL方程不同类型的精确解。一二、Lienard方程的精确解收稿日期：2014—03—13作者简介：王媛(1986一)，女，山西长治人，山西煤炭管理干部学院助教，硕士。1518+8卢’+卢一2aft一4fla2其中，：64，<0，>0。(4)n4kB(／3—6a)’三、RKL方程的周

6、期波解为了寻找RKL方程的周期波解，首先对方程：，：(11)ak2ak(1)作行波变换，假设到现在为止，借助于拟设(5)，我们将RKL方程u(z，，)=(考)P，考=kt+zO)，约化成了Li6nard方程，利用上一部分我们给出的Li6nard方程的精确解以及方程(5)、方程(1O)、方程叩=Zt+，(5)(11)，可以得到RKL方程如下形式的周期波解，在其中()是待定的实函数，k，，A，是待定的实参下面这些解中，=±1，k是任意常数，A，，由方程数。将(5)式代人方程(1)，并且分离实部和虚部得(9

7、)确定：到ak”’+(CO+2Zk一3ctZ七)’“．cz，r=±{一砉[+s·n(,f4L--6afl66：c+z∞)]]}ie“E+3flk~’+5’=0(6)其中0<0，=一(64r+8rJB—32r卢—16r(3一1)七”=(一一)—15flr+90flar+3／3一18a卢)／(64／36)；+(2一)+(6一)(7)为了求解方程(6)一(7)，我们分两种情况进行z，，3E⋯c[z川讨论。情形一：当3aA一1≠0时，对方程(6)积分并且其中0c>0，令积分常数为零，可以得到=一(64r。6+

8、8r—32r卢6—16rak”=一(co+2Zk一3aZ)—12fl+72／3一3fl+18a卢)／(64／3o[r26)；一尼一=0(8)卜杀I一f4kao哪)由方程(7)和方程(8)可以得到其中0；>0，f3aZ一1)kaZ一。一／a一=～ak一(∞+2Zk一3aA七)=一(64a+8／36—32fla6—16aft—1213+72fl一3／3+18a卢)／(64／3a)。2一卢一)，一一一—————————————‘一七一当雅可比椭圆函数的模广_÷