组合方程的孤立波解-论文.pdf

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1、第26卷第4期纺织高校基础科学学报Vo1．26。NO．42Ol3年12月BASICSClENCESJ0URNALOFTEXTILEUNIVERSITIESDec．。2013文章编号：1006834l(2013)04—0432—04组合方程的孤立波解杨海霞，赵敬宜。(1．西北大学数学系，陕西西安710127；2．西北大学非线性研究中心，陕西西安710069)摘要：讨论了一个由modifiedCamassa-Holm方程(简mCH方程)和Camassa—Holm方程(简称CH方程)组合的新方程的孤立波解的问题．通过运用sine-cosine法和tanh法分别

2、求出了此组合方程的孤立波解．分析发现，这2种方法同样适用于求解其他一些演化方程的孤立波解．关键词：Camassa—Holm方程；modifiedCamassa—Holm方程；sine-cosine法；tanh法中图分类号：Ol74．29文献标识码：A0引言在过去2O年里，Camassa—Holm方程一“f+3uu一2u“工r一““一0备受人们的关注．通过研究发现，CH方程具有哈密顿结构和相关联的等谱问题¨，是完全可积的，并且存在孤立波解．2006年，Wazwaze[通过用sine-cosine[法和tanh法Ⅲ研究了mCH方程一z‘￡+3u一2u一“=0

3、，并求出了它的孤立波解，u(x，)=一2sech(1／2(z—ct))．本文求解一个由mCH方程和CH方程组合的新方程一“材+k1(3u“一2u一““)+k2(3uu一2“z‘工r一“)一0(1)的孤立波通解，其中k(忌≠O)和k。是任意常数．并验证了当k一l且k。一O(即mCH方程)时，所得解与已求得的解完全一致．1求解非线性PDE1．1sine-cosine法为了得到方程(1)的行波解，我们需要以下步骤：(1)令e—X—ct，则u(x，￡)一u(O，从而可以将非线性的偏微分方程(以下简称PDE)转化成常微分方程(以下简称ODE)．(2)取u(x，)一

4、acos()，JJ≤丌／2，(2)或者u(z，)=Asin()，II≤丌／．(3)其中，和是待求参数．收稿日期：2012-03-21通讯作者：杨海霞(1988-)，女，陕西省咸阳市人，西北大学硕士研究生．E-mail：923474205@qq．com第4期组合方程的孤立波解433(3)将式(2)和(3)代入ODE中，可以得到含有sine或者cosine的方程；通过平衡三角函数的幂次方，可以得到一个含有，，和方程组，通过解方程组，求出C，，和的数值，再代入函数u(x，￡)的表达式中，从而可求出非线性PDE的解．1．2tanh法类似于上面的方法，先将非线性P

5、DE转化成ODE，再进行计算，具体步骤如下：(1)令y=：=tanh(／~)，其中一z—ct．于是可以得到d／d=：：(1一y2)d／dY，(4)d／必一一2'，(1一)d／dY+。(1一Y)。(d。／dY。)．(5)式(2)利用有限维的级数展开，令Mu(x，)=s(y)一>：“Y．(6)k。‘—‘=0其中M为正整数，通过平衡ODE的线性最高次数和非线性最高次数求得．(3)分别将式(4)，(5)和(6)代人ODE方程，通过合并同类项，并令y的各次幂的系数为零，便可得到一个关于C，，no，a和“z的方程组，通过求解方程组，得到c，，“。，“和n。的数值，进

6、而求出u(x，￡)，即所求方程的解(可借助mathematics，maple等数学软件)．2用sine-cosine法求解方程(1)对于方程(1)，其等价于方程“，一“+kE(u。)一(“：)／2一(uu)]+k2[3(。)／2一(“)／2一(z)]=0．(7)令一一ct，于是方程(7)又等价于如下的ODE：一+CU+kE(u。)一((“))／2一(uu)]+k2E3(“。)／2一(()。)／2一(uu)]一0．(8)其中U===du／d~，一d。“／d．对方程(8)关于积分，并令积分常数为零，得到如下方程：一+CU+点1[一()。／2一]4-k2Eau

7、。／2一()。／2一，，]一0，(9)即一CU+cu+klU。+3k2U／2一(l+k2)(“)。／2一(志1+k2)uu一0．(10)将式(2)代入式(10)得一COS()+c¨[(p一1)cos~()一／．L。。COS~()]+是l。COS()+3k2。COSK~()／2一(l+k2)[．：【卢2COS2／~-。()一。COS2#()3／2一(尼1+k2)[。(一1)cos。卢-()一COS。p()]=0．(11)要使方程(11)成立，则必须下面方程组成立，—l≠0，I+J82=：：0，28(12)—2—2母，一‘kl一(忌l+ka)I-*。#／2一

8、(忌1+k2)fl(fl-1)一0，。fl(fl-1)+3k2a／2+3(k1+