与导数有关的函数题的统一解法.pdf

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1、《数学之友》2013年第24期与导数有关的函数题的统一解法解题探索贺平谢丽萍(厦门英才学校，361022)(厦门工商旅游学校，361024)与导数有关的函数题是各省市高考年年必考的令，()=()(见例四)．题目，形式层出不穷，且多以压轴题的身份出现许(3)放缩法多成绩中上的考生往往处理完第一问后，对二、三问若)()，则令F(x)=()一g(x)(其或是目的性不强的匆忙求导形成“一堆烂账”、或是中()通常可由熟悉的不等式或前一问中的结论手到眼不到写了一堆后发现走进了“死胡同”．很多得出)(见例三)．．考生不知道自己“起步”已经错误，具体的说，

2、对某(4)控元法一个函数F()求导目的不明确，对F()=0的根含参问题若已给出k的范围，由单调性控元消的情况没有预判意识或明知道要构建新函数F()参，构建()(F()元参)(见例一)．但却不知如何构建．数学教育家G·波利亚认为：(5)分离变量法“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内若能分离变量k≥()，则令F()=矗()．容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义且又3高考试题解答检验程序化构造F()的统不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题过程中，提高他们的才智与推理能一模式的效度力．”本文结合近年与导数有关的区分

3、度颇高的函例1(2013全国卷Ⅱ理科21题)数高考题，就如何走好“动一发而系全身”的第一已知函数)=e一In(+m)．步，谈如何构造F()，并给出程序化的构建模式，以(1)设=O为Y=)的极值点，求m，并讨论期达到“好的的开始是成功的一半”的目的．I厂()的单调性；1与导数有关的函数题概述．(2)当m≤2时，证明)>0解：(1)略。与导数有关的区分度颇高的函数题包括：讨论(2)‘．。m≤2，．’．1n(x+2)≥ln(x+／T$)．含参(一元参数或二元参数)方程根的个数与范围记F()=一In(+2)，F()=ex一·含参(一元参数或二元参数

4、)的不等式证明，求函数‘的最值、单调区间；含参(一元参数或二元参数)不-·(，))=e+南I+J>0，等式恒成立时，已知含参函数的最值、单调区间，方·F，()在(一2，+∞)单调递增．／程根的个数与范围，求某参数的范围；题目形式虽然．．千变万化、层出不穷，但本质是相同的，本文以)又·．．F，(0)：1一1>0，F，(一1)：一l<0，≥g()的形式进行说明．在。∈(一1，0)有F(。)=O，2程序化构造F()的统一模式即eXO，一In(。+2)·(1)直接法··F()=e一In(+2)令F()=)-g(x)(左一右)，：±>o或

5、)(F：㈤>o)，一+2．‘令F(x)=F()一c()(见例二)．当∈(一2，。)时，F()<0，，F(x)单调递减；(2)化积法当∈(。，+∞)时，F(戈)>0，F()单调若)一g()=()k(x)，若()≥O，递增．《数学之友》2013年第24期·．．)≥F()>IF(x)i=F(茹o)>O．设，()=ln(+1)++1+a+b(o，b∈R，【点评l本题是含参不等式的证明题，若不加思考直接采用构造F()=左一右，贝IJ在求()：0口6为常数)，陷线)，：，()与直线，．=吾在(0，0)出现死胡同，本题应该控元，将二变量变为一变量，点相切

6、．那么如何控元呢?只要通过m≤2和lnx的单调性(1)求口，b的值；即可，本题用了控元法和放缩法．(2)证明：当O<<2时)<9x．例2(2012山东卷Ⅱ理科2l题)解：(1)略．0=O，b=一1．已知函数)=(j}为常数，e=2．71828(2)=ln(x+1)+舸一1．⋯是自然数对数的底数)，曲线Y=／()在点(1，．．1))处的切线与轴平行．．厢<(0<<2)，(1)求k的值；·．．f(x)=ln(x+1)+舸一l

7、x的导函数，证明对任意>O，g()<1+e～．解：(1)略k=1．11+一(2)略．)在(0，1)单调递增，在(1，+∞)单调递减．’一(：±!三二呈鱼2—2(+1)(+6)‘(3)g()：(z+)-=二当∈(O，2)时，’．’+15x一36

8、∈(0，+∞)．F。()在(0，e)上单调递增，在(e～，+∞)上【点评】若直接对f()求导，则会在厂()=0单调递减，头撞南墙，原因在于对T求导时，既有根式又有所以F1()=F