数学思维—开拓性.doc

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1、2005年高考数学总复习解题思维专题讲座之四数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力

2、的目的。从而培养创新精神和创造能力。在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。数学思维的开拓性主要体现在：(1)一题的多种解法例如已知复数满足，求的最大值。我们可以考虑用下面几种方法来解决：①运用复数的代数形式；②运用复数的三角形式；③运用复数的几何意义；④运用复数模的性质（三角不等式）；⑤运用复数的模与共轭复数的关系；⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆与有公共点时，的最大值。(2)一题的多种解释例如，函数式可以有以下几种解释：①可以看成自由

3、落体公式②可以看成动能公式③可以看成热量公式又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为：，等等。1．思维训练实例例1已知求证：分析1用比较法。本题只要证为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。证法1所以分析2运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。证法2要证只需证xM·yd图4－2－1O即因为所以只需证即

4、因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）证法3即分析4三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。证法4可设分析5数形结合法：由于条件可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而联系到点到直线距离公式，可得下面证法。证法5（如图4

5、-2-1）因为直线经过圆的圆心O，所以圆上任意一点到直线的距离都小于或等于圆半径1，即简评五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。例2如果求证：成等差数列。分析1要证，必须有成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。证法1故，即成等差数列。分析2由于已知条件具有轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换

6、运算带来便利。证法2设则于是，已知条件可化为：所以成等差数列。分析3已知条件呈现二次方程判别式的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。证法3当时，由已知条件知即成等差数列。当时，关于的一元二次方程：其判别式故方程有等根，显然＝1为方程的一个根，从而方程的两根均为1，由韦达定理知即成等差数列。简评：证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。例3已知，求的最小值。分

7、析1虽然所求函数的结构式具有两个字母，但已知条件恰有的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。解法1设，则二次项系数为故有最小值。当时，的最小值为分析2已知的一次式两边平方后与所求的二次式有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。解法2即即当且仅当时取等号。的最小值为分析3配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。解法3设当时，即的最小值为11Oxy图4－2－2分析4因为已知条件和所求函数式都具有解

8、析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。解法4如图4－2－2，表示直线表示原点到直线上的点的距离的平方。显然其中以原点到直线的距离最短。此时，即所以的最小值为注如果设则问题还可转化为直线与圆有交点时，半径的最小值。简评几种解法都有特点和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4，形