理论力学第十四章 虚位移原理.pdf

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1、第十四章第十四章虚位移原理虚位移原理虚位移原理应用虚功的概念分析系统的平衡问题.§§1414--11约束、虚位移与虚功约束、虚位移与虚功一约束及其分类约束限制质点或质点系运动的条件。约束方程表示约束的数学方程1.几何约束与运动约束几何约束：约束方程中不含速度项的约束实约束:无重刚杆.x例θl222约束方程:x+y=lM（x，y）y单摆xlθ11M1（x1，y1）ly2θ2M2（x2，y2）双锤摆约束:刚杆l,l12222约束方程x+y=l11222(x−x)+(y−y)=l2121AMOPxB222xy+=rAA222()x−xy+−=()ylBABAy=0B运动约束：约

2、束方程中含有速度项的约束ωyr=AvArvr0−ω=Axr−θ=0A2.定常约束与非定常约束•定常约束：约束方程中不显含时间t的约束非定常约束：约束方程中显含时间t的约束222x+=−y()lvt02.其它分类•完整约束：非完整约束：完整约束的一般形式:•双面约束：约束方程为等式的约束单面约束：约束方程为不等式的约束222x杆xyl+=θl222绳xyl+≤M（x，yy）g≥,0λ≥,0gλ=0NNNN二虚位移虚位移：在给定瞬时，质点或质点系为约束所允许的任何无限小位移。δSM（x,y,z)AAδSδrMB切1平OP面xB质点：δr质点系:(δr,δr,…,δr)12

3、n说明:1.对给定瞬时而言(不同位置位移不同).2.为约束所允许的(不能破坏约束).3.无限小位移(不是有限位移).4.任何无限小位移(不只一个;对质点系来说不只一组).δSM（x,y,z)AAδSδrMB切1平OP面xB三虚功作用于质点上的力在其虚位移上所作的功。δW=Fδr四、理想约束：约束反力虚功之和为零的约束。ΣδW=ΣNδr=0N那些约束为理想约束？回到动能定理里理想约束部分1、光滑面2、可动支座NNδrδrNδr=03、固定支座YXδr=04、中间铰5、轴承约束δrYBNXBN/YAXA/Nδr+Nδr=0δr=06、无重刚杆（二力构件）N//δrBNδrA+

4、NδrBθB/=−Nδrcosθ+NδrcosθABAABBN∵δrcosθ=δrcosθAABBθAδrA/∴Nδr+Nδr=0AB7、不可伸长柔索TθBAθATBB（同无重刚杆）AδrδrBA8、只滚不滑δφFδr=0N§§1414--22虚位移原理虚位移原理虚位移原理：对于具有理想约束的静止质点系，其平衡条件是：该质点系所有主动力在系统的任何虚位移上的虚功之和等于零。∑Fi•δri=0投影式：∑(Fxδx+Fyδy+Fzδz）＝0证明：（必要性）考虑一处于平衡状态的质点系。Fim对任意质点，有：F+F=0iiNiFNi任给虚位移，使之做虚功，则：δriF•δr+F•

5、δr=0iiNii对整个质点系，则有：∑Fi•δri+∑FNi•δri=0在理想约束情况下有：∑FNi•δri=0于是可得：∑Fi•δri=0例：已知OA=r，00Aθ=90ϕ=30求系统在图示位MB置平衡时，力偶θϕFOM与力F的关系。解：（1）研究对象：机构整体（2）受力分析：作虚功的力：M，F给出虚位移：（3）求M与F关系：δrAA−Mδθ+F⋅δr=0Bδθ建立虚位移δθ和δrB间的关系：MBθδr=δrδr=r⋅δθϕFABAO所以：δrB=r⋅δθδrB将虚位移间的关系代入虚功方程，求解可得：M=rFF例：在螺旋压榨机的手柄AB上作用一AB在水平面内的力偶(F

6、,F’)，其力偶矩Fδϕ等于2Fl。设螺杆的螺距为h，求平衡时作用于被压榨物体上的压力。C解：（1）研究对象：系统整体δrC（2）受力分析：给机构一组虚位移，FδϕδrC作虚功的力：（F，F/），FNN（3）求FN：2Fl⋅δϕ−FN⋅δrC=0δϕ/2π=δr/hC所以：δrC=(h/2π)⋅δϕ⎛FNh⎞4π代入虚功方程，求解：⎜2Fl−⎟δϕ=0F=FN⎝2π⎠hy例：图示椭圆规机构，连A杆AB长为l，杆、滑块的重量和滑道、铰链上的摩擦力忽略不计。求在图示FrvAδAAB位置平衡时，主动力FA和FϕxFB之间的关系。OBvBδrB解：（1）研究对象：整体（2）受力分

7、析：给出虚位移，作虚功的力：F和FAB（3）求F和F之间的关系：AB建立虚功方程：FAδrA−FB⋅δrB=0建立虚位移δr和δrB间的关系：A方法一：虚速度法假想虚位移是在某很短的时间dt内发生的，于是定义v=δr/dt为虚速度。因为位移之比即速度之比，所以可通过分析速度来建立虚位移间的关系。δr/δr=v/vBABA由AB的速度瞬心P可知：yvPBB==tanϕAvPAPA于是：δrB=δrA⋅tanϕvFAδrAABFϕxBOvBδrB方法二：坐标变分法y=lsinϕx=lcosϕAB分别求变分，可得：δyA=l⋅cos