欢迎来到天天文库
浏览记录
ID：56528875
大小：344.50 KB
页数：14页
时间：2020-06-27
《代数系统循环群.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、上次课主要内容：1、子群就是群的子代数．1）定义设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群，记作H≤G．若H是G的子群，且H⊂G，则称H是G的真子群，记作H2、封闭即可例、设G为群，H与K是G的子群证明：H∩K是G的子群证：1）非空由于H与K是子群e∈H且e∈Ke∈H∩K2)运算封闭∀a,b∈H∩Kab∈H∩K3)逆元存在∀a∈H∩Ka∈Ha-1∈Ha∈Ka-1∈Ka-1∈H∩K对于H∪K能否构成G的子群？要有条件：当且仅当H⊆K或K⊆H例、设G为群，令C={a3、a∈G且∀x∈G有ax=xa}证明C是G的子群即群中与任何元素可交换的元素构成证：1）非空∀x∈G由e∈Gex=xee∈G2)运算封闭∀a,b∈C有(ab)x=a(bx)=a(xb)=(ax)b=x(ab)ab∈C3)逆元存在∀a∈C由于ax=xa∀x∈G由a-1∈Ga-1(ax)a-14、=a-1(xa)a-1即xa-1=a-1xa-1∈C称C为G的中心如果G是可交换群,则C=G对于非交换群则C={e}例、设G是群对于任意的a∈G令S={an5、n∈Z}证明S是G的子群证：按判定定理二来判断对任意的an,am∈San(am)-1=an(a-1)m=an-mn-m∈Z所以an-m∈S如果a的阶是有限的（为r)则S={a,a2,a3,…ar}在klein四元群中={e}={a,e}={b,e}={c,e}特别地：当群G的阶为素数时存在元素a生成的子群=G由a的各次幂构成的子群称为由a生成的子群，记为例：中由<2>所生成的子群为<{2k6、7、k∈Z},+>实际为<{2k8、k∈Z},+>在中由<2>所生成的子群因为20=0,21=2,22=4,23=0<2>=<{0,2,4},+6>◦eabceeabcaaecbbbceaccbae例：有限阶是循环群因为0=101=112=123=130=301=332=323=31生成元为1或3设a是生成元∀n∈Z4n=ak=kamod4取n=1有1=kamod4即有s使4s+ka=1可得出a与4互质(a,4)=1反之（a，4）=1互质则有4s+ta=11=tamod41=atmod4n∈Z∀n∈Z4n=1n=(at)n=atntn∈Z在Z4中只有1、3与4互质所9、以为生成元Z20的生成元为1、3、7、9、11、13、17、19得出的结论是否有一般的意义？§10.3循环群与置换群一、循环群1、定义设G为群，若存在a∈G使得G={ak10、k∈Z}则称G是循环群记作G=,称a为G的生成元注:由群G中元素a生成的子群是循环群。由前面拉格郎日定理：素数阶的群均为循环群2、循环群G＝根据元素a的阶可分为：n阶循环群和无限阶循环群。例：整数加群是循环群设a是生成元∀n∈Zn=ak=ka取n=1有1=ak必有a=1或-1它可由<1>,或<-1>生成因为∀n∈Zn=1n或n=(-1)-n（一个循环群的生成元不唯一）整数加群是无限阶循环群有两个生成元推11、广：1、是循环群其生成元的集合是：M={a12、a∈Zn且（a,n)=1互质}2、素数阶的群中除幺元以外的所有元素均为生成元定理10.11设G＝为循环群1）若G是无限阶群，则G只有两个生成元a和a-12）若G是n阶循环群，则G含有ψ（n）个生成元。对于任何小于等于n且与n互素的正整数r，ar是G的生成元欧拉数：ψ（n）为0…n-1中与n互质的数的个数如n=9与9互质的数有ψ（9）={1，2，4，5，7，8}主要验证a-1是生成元显然⊆G验证G⊆ak=(a-1)-k再证只有这两个生成元设b是其他生成元，则a=bt且b=ama=bt=(am)t13、=amtamt-1=emt-1=0mt=1m=t=1或-1设G是以a为生成元的循环群，则1、若G是无限群，则G与整数加群同构2、若G是有限群，则G与同构只要建立映射：f:G→Z (Zn)因为∀x∈Gx=akf(x)=k验证f是函数、是双射、保持运算有了此结论，定理10.11即可得到以整数加群为例<1>,<2>,<3>,<4>…均为其无限子群3.G={a0=e,a1,a2,…an-1}G的每个子群的阶都是n
2、封闭即可例、设G为群，H与K是G的子群证明：H∩K是G的子群证：1）非空由于H与K是子群e∈H且e∈Ke∈H∩K2)运算封闭∀a,b∈H∩Kab∈H∩K3)逆元存在∀a∈H∩Ka∈Ha-1∈Ha∈Ka-1∈Ka-1∈H∩K对于H∪K能否构成G的子群？要有条件：当且仅当H⊆K或K⊆H例、设G为群，令C={a
3、a∈G且∀x∈G有ax=xa}证明C是G的子群即群中与任何元素可交换的元素构成证：1）非空∀x∈G由e∈Gex=xee∈G2)运算封闭∀a,b∈C有(ab)x=a(bx)=a(xb)=(ax)b=x(ab)ab∈C3)逆元存在∀a∈C由于ax=xa∀x∈G由a-1∈Ga-1(ax)a-1
4、=a-1(xa)a-1即xa-1=a-1xa-1∈C称C为G的中心如果G是可交换群,则C=G对于非交换群则C={e}例、设G是群对于任意的a∈G令S={an
5、n∈Z}证明S是G的子群证：按判定定理二来判断对任意的an,am∈San(am)-1=an(a-1)m=an-mn-m∈Z所以an-m∈S如果a的阶是有限的（为r)则S={a,a2,a3,…ar}在klein四元群中={e}={a,e}={b,e}={c,e}特别地：当群G的阶为素数时存在元素a生成的子群=G由a的各次幂构成的子群称为由a生成的子群，记为例：中由<2>所生成的子群为<{2k
6、
7、k∈Z},+>实际为<{2k
8、k∈Z},+>在中由<2>所生成的子群因为20=0,21=2,22=4,23=0<2>=<{0,2,4},+6>◦eabceeabcaaecbbbceaccbae例：有限阶是循环群因为0=101=112=123=130=301=332=323=31生成元为1或3设a是生成元∀n∈Z4n=ak=kamod4取n=1有1=kamod4即有s使4s+ka=1可得出a与4互质(a,4)=1反之（a，4）=1互质则有4s+ta=11=tamod41=atmod4n∈Z∀n∈Z4n=1n=(at)n=atntn∈Z在Z4中只有1、3与4互质所
9、以为生成元Z20的生成元为1、3、7、9、11、13、17、19得出的结论是否有一般的意义？§10.3循环群与置换群一、循环群1、定义设G为群，若存在a∈G使得G={ak
10、k∈Z}则称G是循环群记作G=,称a为G的生成元注:由群G中元素a生成的子群是循环群。由前面拉格郎日定理：素数阶的群均为循环群2、循环群G＝根据元素a的阶可分为：n阶循环群和无限阶循环群。例：整数加群是循环群设a是生成元∀n∈Zn=ak=ka取n=1有1=ak必有a=1或-1它可由<1>,或<-1>生成因为∀n∈Zn=1n或n=(-1)-n（一个循环群的生成元不唯一）整数加群是无限阶循环群有两个生成元推
11、广：1、是循环群其生成元的集合是：M={a
12、a∈Zn且（a,n)=1互质}2、素数阶的群中除幺元以外的所有元素均为生成元定理10.11设G＝为循环群1）若G是无限阶群，则G只有两个生成元a和a-12）若G是n阶循环群，则G含有ψ（n）个生成元。对于任何小于等于n且与n互素的正整数r，ar是G的生成元欧拉数：ψ（n）为0…n-1中与n互质的数的个数如n=9与9互质的数有ψ（9）={1，2，4，5，7，8}主要验证a-1是生成元显然⊆G验证G⊆ak=(a-1)-k再证只有这两个生成元设b是其他生成元，则a=bt且b=ama=bt=(am)t
13、=amtamt-1=emt-1=0mt=1m=t=1或-1设G是以a为生成元的循环群，则1、若G是无限群，则G与整数加群同构2、若G是有限群，则G与同构只要建立映射：f:G→Z (Zn)因为∀x∈Gx=akf(x)=k验证f是函数、是双射、保持运算有了此结论，定理10.11即可得到以整数加群为例<1>,<2>,<3>,<4>…均为其无限子群3.G={a0=e,a1,a2,…an-1}G的每个子群的阶都是n
此文档下载收益归作者所有
