学年论文一阶常微分方程的初等解法.doc

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1、`题目：一阶常微分方程的初等解法Word文档`摘要一阶常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学中占有重要的地位。主要从三个方面讲述：一、微分方程的基本概念，二、一阶常微分方程的初等解法（其中包括变量分离微分方程、伯努利微分方程、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程），三、一阶常微分方程初等解法的应用举例。一阶常微分方程的求解因其方法灵活，技巧性强，历来是学生学习中的一大难点，因此，针对不同的题型，应采取不同的方法。关键词：变量分离方程伯努利方程恰当微分方程积分因子应用举例AbstractFirsto

2、rderordinarydifferentialequationisamathematicalanalysisorapartofbasicmath,occupiesanimportantpositioninthemathematics.Mainlyfromthreeaspects:first,thebasicconceptofdifferentialequation;Second,theelementarysolutionoffirstorderordinarydifferentialequations(includi

3、ngdifferentialequationofseparationofvariables,differentialequationofBernoulli,exactdifferentialequationandintegralfactor,first-orderhiddendecayequation);Third,theapplicationofelementaryfirst-orderordinarydifferentialequationsolution.Becausesolutionofthefirst-ord

4、erordinarydifferentialequationisflexibleandtechnique,ithasalwaysbeenabigdifficultyinstudentslearning.Therefore,accordingtodifferenttypes,differentmethodsshouldbetaken.Keywords:VariableseparableequationBernoulliequationAppropriatedifferentialequationIntegratingfa

5、ctorApplications引言数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。如函数未知，但已知变量与函数的代数关系，便组成代数方程，通过求解代数方程就可解出未知函数。一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示，他们在实际问题中有着广泛的应用，值得我们好好学习和Word文档`1.微分的基本概念1.1常微分方程微分方程：一般地，表示未知函数以及未知函数的导数（或微分）与自变量之间的关系的方程。常微分方程：自变量只有一个的微分方程。微分方程的阶数：微分方程中出

6、现的最高阶导数的阶数。一般的阶微分方程具有的形式这里是的已知函数，而且一定含有；是未知函数，是自变量。1.2线性和非线性方程如果微分方程对于未知函数以及它的各阶导数的有理整式而言是一次的，称为线性微分方程，否则是非线性微分方程。如是非线性微分方程。一般的阶线性微分方程形式这里是的已知函数。Word文档`1.3解和隐式解微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解。即若函数代入式中，Word文档`使其成为恒等式，称为方程的解。如果关系式决定的隐函数为方程的解，称是方程的隐式解。1.4通解和特解通解：含有个独立的任意常

7、数的解称为阶方程的通解。特解：方程满足初值条件的解。定解问题：求方程满足定解条件的求解问题，定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题。Word文档`2.一阶微分方程的初等解法微分方程的一个主要的问题就是“求解”，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。但一般的微分方程无法求解，只能是对某些类型通过相应的方法求解。这里详细介绍几种方法。2.1变量分离微分方程形如（1）的方程，称为变量分离方程，，分别是，的连续函数，这是一类最简单的一阶函数。如果，我们可将（1）改写成，这样，变量就“分

8、离”开来了。两边积分，得到（2）这里我们把积分常数明确写出来，而把，分别理解为，的原函数。常数的取值必须保证（2）有意义。例1求解方程解将变量分离，得到两边积分，即得因而，通解为Word文档`这里是任意正常数，或者解出，写出显函数形式的解2.1.1可化为变量分离方程的类型：一阶线性微分方程，（1）其中，在考虑的区间上是的连续函数，