更高更妙的物理：专题12 机械振动二三事.doc

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1、专题12机械振动二三事广义地说，振动不仅存在于所有的物理现象中，在化学、生物学、气象学等许多自然科学分支中都会涉及各种各样的振动，各种不同本质的振动会有各自不同的特点，但又具有其共同性—振动是一种往复性的变化。物体位置的往复变化即为机械振动。在这个专题中，我们将探究机械振动中的一些有趣的规律，这些规律中的很多都适用于其他的振动。我们知道，简谐运动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动总可以分解成几个简谐运动，一切振动都是若干个简谐运动合成的结果。弹簧振子、单摆（数学摆）、复摆（物理摆）、扭摆、沉浮子的小幅振动都是简

2、谐运动。简谐运动发生的动力学原因是受到一个与位移大小成正比（线性）而方向相反的回复力：，这是振动系统做谐振的充要条件。通常我们以此为据认定物体的振动是否属于简谐运动。【例1】质点以角速度沿半径为的圆轨道做匀速圆周运动，试证明：质点在某直径上的投影的运动为简谐运动。【分析与解】如图所示，将质量为的质点的运动正交分解为沿水平（轴）与竖直（轴）直径的两个分运动，质点在水平直径上的投影的运动即质点在方向的分运动。显然，质点沿圆周运动一个周期，沿轴向直径以为中心往复运动完成一个全振动。我们将质点做匀速圆周运动的合外力（即向心

3、力）分解为与两个分力，即是做振动的回复力，它的方向总是指向平衡位置而与对的位移相反。以位移方向为正，容易得到。、均确定，我们令，有，可见，的运动是简谐运动。从上面的讨论中可知，一个匀速圆周运动可以正交分解成两个简谐运动，每个简谐运动的振幅，周期，圆频率。若点初始位置坐标为（，），初相位，则在图所示坐标中，两个分运动的振动方程为，。速度公式为，。加速度公式为，。这是两个相位差为的完全相同的谐振。反之，任何一个简谐运动，都可以回归于某一个匀速圆周运动，这个圆叫做简谐运动的参考圆。利用参考圆来描述简谐运动是我们常用的一种

4、方法。【例2】如图所示，密度为的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与水平面的交角为、，液柱总长为。若对液体的平衡状态加一扰动，则管中液柱即开始往复振动，求证：其属简谐运动并求振动周期。毛细管作用及摩擦忽略不计。【分析与解】当液体平衡被破坏而做往复运动时，整个液柱受到怎样的回复力的作用是解决问题的关键。只要找到整个液柱往复运动的回复力所遵循的规律，即可认定液柱的振动性质。先分析液柱处于平衡状态时的受力。这时，设左臂液柱长，右臂液柱长。由于液体处于平衡，取弯管底部截面积为的液片为隔离体研究其受力，两臂液柱对该液片的压力

5、大小相等，方向相反，故有。①再假设在振动过程中，液柱沿管有一位移，使左臂液柱长变为（）、右臂液柱长则变为（），如图，整个振动系统—质量为的液柱所需的回复力是由两管臂中液柱重力沿管方向的分力来提供的。其中，左臂液体重力的沿管方向分力与位移方向相同，右臂液体重力的沿管方向分力与位移方向相反。以位移方向为正，回复力为。②由①、②两式可得。令，可见，弯管中液柱受一与位移大小成正比而方向相反的回复力的作用，故此振动属简谐运动，且由简谐运动周期公式知。我们看到，利用简谐振动的充要条件，在证明回复力大小与位移成正比，得到回复力常

6、数是的同时，也就求得了谐振周期。【例3】如图所示，设想在地球表面的、两地之间开凿一直通隧道，在处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力。试求小球的最大速度以及小球从到所需时间。已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，和之间的直线距离为，地球内部质量密度设为均匀，不考虑地球自转。【分析与解】在专题中，我们介绍了牛顿证明过的一个结论：对于一个质量均匀半径为的实心球，在距球心（）处质点只受半径为的球内质量的万有引力，而以外球壳（即为外径为内径的球壳）则对质点无引力的作用。若均匀球质量为

7、，则距球心处所置质点受到的引力大小，与成正比。这里，我们将证明，小球在隧道中的运动是简谐运动，这只须证明小球在隧道中受线性回复力。如图所示，设地心到隧道的距离为，取隧道中点为坐标原点，当小球的位置矢量为时，所受引力大小为。此力沿隧道方向的分力为。可见小球在隧道中受到大小与位移成正比而方向相反的回复力作用，它使小球在隧道中做简谐运动，回复力常数，振幅，圆频率。由于小球的运动方式为谐振，从点由静止出发穿越隧道到达点历时恰为半个周期，即。关注一下这个结论可以发现，穿越地球隧道的时间是一个定值，与隧道长度并无关系，而这个时

8、间又是近地卫星绕地球半周所需时间：第一宇宙速度，。这个有趣的巧合并非偶然，而正说明近地卫星的匀速圆周运动与小球沿隧道的简谐运动的相关性。小球的最大速度出现在过点时。若以谐振的平衡位置为零势能位置，小球振动的总能量。本题中，当小球运动到隧道两端时，在点处的动能全部转化为势能，大小为。【例4】力心、相距，一质量为的质点受与距离平方成反比的有心斥力作用而平衡于两点