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1、自动控制原理Ⅱ第一章状态空间法一.问题的引出1--古典控制理论的局限性1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，时不变系统)2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论)3、设计是建立在试探的基础上的.(应用)4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才能采用传递函数.控制系统的状态空间描述而实际上大多数系统表现为:1、多输入，多输出.（抽象定义，系统具有合格性）2、时变.（总是可找到一些参数是随时间变化的）3、非线性.（泛指运动本身的非线性特征）4、复杂性，复杂任务和高精度.因此古典控制理论解决问题受到限制,需要
2、寻找新的解决方法.这种方法或理论应要求:1、描述多输入/输出复杂系统的方法和理论基础.2、具有可计算的形式.3、解析式设计4、能描述系统内部状态和终端行为(内部描述).5、系统t=0松驰状态,非松驰状态,或非线性时变等情况下的适用性.结论--对研究内容的界定和限制所以对于一个多输入/输出系统来说:1、采用在时域内进行建模，且由于是对实际物理系统进行模型描述，因而模型中的所有变量和函数均假定为实数x∈。2、数学描述的主要手段是微分方程，并应充分利用系统的内部描述法来建立微分方程，以充分表述系统的内部特性.3、适用于非初始
3、松驰或非零初始条件的系统状态.4、主要研究线性连续时不变系统.二.问题的引出2--状态空间分析方法通过一个实例引出状态空间分析方法的基本概念.例:设有如图所示网络显然,若流经电感的初始电流及电容两端的初始电压已知,则在任何电压驱动下,网络的行为能唯一地确定。从u到y的网络传递函数求得为:(1)故该网络的脉冲响应为:(1)现将输入电压u[,∞)施加于网络,且网络设定为时不变的.(1)若在时刻系统是松驰的,则其输出为:(2)(2)若在时刻非松驰（前有输入，系统有能量储存），则系统输出为:(3)显然在以前施加于系统的输入能通
4、过电容和电感的能量存储对之后的输出产生影响.现在我们考虑由未知输入u(-∞,]对y[,∞)的影响,即（4）其中:注意到和与t无关,因此如果和已知,则由未知的输入u(-∞,]引起的在t≥之后的输出就完全可以确定。由式（3）得到并利用式（4）的结果，得（5）对式(3)取关于t的导数,并利用得到:连同g(0)=0,就意味着有(6)联立式(5)和式(6),得到从而若网络在时刻非松驰则输出由下式给出:结论:若和已知(时刻系统的一种状态),即使网络在时刻非松驰,它在t≥u[,∞)之后的输出也能唯一的被确定.显然是由和，u[,∞)共
5、同唯一地确定.因此和可以作为网络的状态,同样也可用和作为网络的状态,而这两组数的原函数是微分方程的变量.从例子中也可以看出来,在无限区间(-∞,]上的输入,其作用效果已综合在{,}和{,}两个数中,因此状态概念非常有意义和有效.从上述例子可得到如下结论:1、系统状态不是唯一的.2、状态的选择与物理量有关,一般应该是相互独立的储能元件的物理量.3、每一瞬时的状态可以是仅由有限个数的集合组成.定义1.状态系统在时刻的状态乃是时刻的一种信息量,它与输入u[,∞)唯一地确定系统t≥时的行为。注：系统行为指包括状态在内的系统的所
6、有响应。状态即指某一时刻的,可以表征系统特征或行为的数。而该数的原函数则可称为状态变量,而这种函数不但可以描述某一时刻的行为，并可在[,∞)内描述行为,为此定义状态变量是:定义2.状态变量状态变量是确定系统状态的最小一组变量,如果以最少的n个变量可以完全描述系统的行为(即当t≥时输入和在t=初始状态给定后,系统的状态完全可以确定),那么是一组状态变量.定义3.状态向量（有限个数的状态变量的集合）如果将状态变量作为向量x(t)的各个分量,则称x(t)为状态向量,一旦给定时刻的状态向量,则它与输入u[,∞)唯一地确定系统在
7、t≥时的状态x(t)。定义4.状态空间若状态向量x(t),可唯一地由空间中一组规范正交基底(单位坐标向量)线性组合表示,则状态向量x(t)是n维状态空间(,n)中的一个向量,所有状态向量x(t)集合组成n维的状态空间(,n)或定义为:通常状态变量均为有实际意义的实数值,因此状态向量的取值空间是有限维实向量空间,称为状态空间。总结:(1)根据状态变量的定义,状态变量应选取系统中相互独立储能元件的物理量,独立储能元件的个数即为状态变量个数.(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数学描述所需,而非明确的物理意义。(3
8、)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是状态的函数,但输出总是希望可量测的。(4)仅讨论有限个状态变量的系统。(5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。(6)状态向量的取值空间称为状态空间。例2,设下图的RLC网络,如果电流i(),电容电压()的初始值和t≥时的输入电压均已知,则t≥时网络的状态完全由i(t),(t)确定.
