2019年全国高中数学联赛B卷.docx

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1、2019年全国高中数学联赛B卷一试一､填空题:本题共8小题,每小题8分,满分64分1.已知实数集合{1,2,3,x}的最大元素等于该集合的所有元素之和,则x的值为2.若平面向量a=(2m,-1)与b=(2m-1,2m+1)垂直,其中m为实数,则a模为3.设α､β∈(0,π),cosα,cosβ是方程5x2-3x-1=0的两根,则sinαsinβ的值为4.设三棱锥P-ABC满足PA=PB=3,AB=BC=CA=2,则该三棱锥的体积的最大值为5.将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0

2、),则产生的不没的8位数的个数为6.设整数n>4,(x+2y-1)n的展开式中xn-4和xy两项的系数相等,则n的值为7.在平面直角坐标系中,若以(r+1,0)为圆心､r为半径的圆上存在一点(a,b)满足b2≥4a,则r的最小值是8.设等差数列{an}的各项均为整数,首项a1=2019,且对任意正整数n,总存在正整数m,使a1+a2+…+an=am.这样的数列{an}的个数为二､解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤9.(本题满分16分)在椭圆Γ中,F为一个焦点,A､B为两个顶点,若

3、

4、FA

5、=3,

6、FB

7、=2,求

8、AB

9、的所有可能值ìlga+logbc=3求lga×lgc的最大值10.(本题满分20分)设a,b,c均大于1,满足íîlgb+logac=411.(本题满分20分)设复数数列{zn}满足:

10、z1

11、=1,且对任意正整数n,均有4zn2+1+2znzn+1+zn2=0,证明:对任意正整数m,均有

12、z1+z2++zm

13、<233加试一、(本题满分40分)设正实数a1,a2,…,a100满足ai>a101-i(i=1,2,…,50),记xk=kak+1(k=1,2,,99).a1+a2++ak证

14、明:x1x22x9999£1二、(本题满分40分)求满足以下条件的所有正整数n:①n至少有4个正约数;②若d1

15、三种颜色之一,每种颜色的边各673条.证明:可作这个凸2019边形的2016条边在内部互不相交的对角线将其剖分为2017个三角形,并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之一,使得每个三角形的三条边或者颜色分部相同,或者颜色互不相同.2019年全国高中数学联赛B卷答案一试一､填空题:本题共8小题,每小题8分,满分64分1.已知实数集合{1,2,3,x}的最大元素等于该集合的所有元素之和,则x的值为答案:-3解:条件等价于1,2,3,x中除最大数以外的另三个数之和为0,显然x<0,从而1+2+x=0得x=-32.若平

16、面向量a=(2m,-1)与b=(2m-1,2m+1)垂直,其中m为实数,则a模为答案:10解:令2m=t,则t>0,条件等价于t(t-1)+(-1)·2t=0,解得t=33.设α､β∈(0,π),cosα,cosβ是方程5x2-3x-1=0的两根,则sinαsinβ的值为答案:57解:由条件知cosα+cosβ=53,cosαcosβ=-15,从而(sinαsinβ)2=(1-cos2α)(1-cos2β)=1-cos2α-cos2β+cos2α·cos2β=(1+cosα·cosβ)2-(cosα-cosβ)2æ4ö

17、2æ3ö27=ç÷-ç÷=5525èøèø4.设三棱锥P-ABC满足PA=PB=3,AB=BC=CA=2,则该三棱锥的体积的最大值为答案:236解:设三棱锥P-ABC的高为h.取M为棱AB的中点,则h£PM=32-12=22.当平面PAB垂直于平面ABC时,h取到最大值22.此时三棱锥P-ABC的体积取到最大值13SDABC×22=13×3×22=2365.将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),则产生的不没的8位数的个数为答案:95解:易知2,0,1,9,2019的所有不以0

18、为开头的排列共有4×4!=96个,其中除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)表示同一个数20192019外,其余的数互不相等,因此满足条件的8位数的个数为96-1=95个6.设整数n>4,(x+2y-1)n的展开式中xn-4和xy两项的系数相等,则n的值为答案:51.解:注意到(x+2y-1)n=åCnrx