《线性代数》课后习题答案.docx

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1、.第一章行列式习题1.11.证明：（1）首先证明Q(3)是数域。因为QQ(3)，所以Q(3)中至少含有两个复数。任给两个复数ab3,ab3Q(3)，我们有1122(a1b13)(a2b23)(a1a2)(b1b2)3(a1b13)(a2b23)(a1a2)(b1b2)3。(a1b13)(a2b23)(a1a23b1b2)(b1a2a1b2)3因为Q是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以(a1b13)(a2b23)(a1a2)(b1b2)3Q(3)(a1b13)(a2b23)(a1a2)(b1b2)3Q(3)

2、。(a1b13)(a2b23)(a1a23b1b2)(b1a2a1b2)3Q(3)如果a2b230，则必有a2,b2不同时为零，从而a2b230。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以a1b13(a1b13)(a2b23)(a1a23b1b2)(b1a2a1b2)3Q(3)a2b23(a2b23)(a2b23)a223b22a223b22。综上所述，我们有（2）类似可证明Q(3)是数域。Q(p)是数域，这儿p是一个素数。（3）下面证明：若p,q为互异素数，则Q(p)Q(q)。（反证法）如果Q(p)Q(q)，则

3、a,bQpabq，从而有p(p)2(a2qb2)2abq。由于上式左端是有理数，而q是无理数，所以必有2abq0。所以有a0或b0。如果a0，则pqb2，这与p,q是互异素数矛盾。'..如果b0，则有pa，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有Q(p)Q(q)。同样可得Q(q)Q(p)。（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q和之间存在无穷多个不同的数域。2.解：（1）P(1)是数域，证明略（与上面类似）。（2）Q(1)就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。而(1)C(1

4、)复数域。（3）Z(1)不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如11)。Z(23.证明：（1）因为F,K都是数域，所以QF,QK，从而QFK。故FK含有两个以上的复数。任给三个数a,bFK,0cFK，则有a,b,cF且a,b,cK。因为F,K是数域，所以有ab,ab,ab,ab,aaK。F且aK。所以ab,ab,F所以FK是数域。ccc（2）FK一般不是数域。例如FQ(2),KQ(3)，我们有2,3FK，但是623FK。习题1.22.解：项a23a31a42a56a14a65的符号为(1)(234516)(31264

5、5)习题1.311L111L1aij11．证明：根据行列式的定义=(1)(j1j2Ljn)a1j1a2j2LanjnMMMj1j2Ljn11L1'..(1)(j1j2Ljn)=0。j1j2Ljn所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n阶排列，故可以得到全体n阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。1998199920001998199911998112．解(1)20012002C3C22002C2C111=

6、0；200320011200120042005200620042005120041110010220（2）33004004C3C2C4C110000200下三角形1268=96；0360400811101101R2R1（3）1011R3R101111110111011100011R240111R3R201110101010100120111001100111110R4R30111上三角形13=3；0012110003abc2a2aR1R2R3abcabcabc（4）2bbca2b2bbca2b2c2ccab2c

7、2ccab提取公因子111(abc)2bbca2b2c2ccabR2(2b)R1111(abc)0bca0=(abc)3。R3(2c)R100cab7222215222227222C15157222CiRiR1（5）22722i215272222272152272i2,3,4,52222715222715222205000005000005000005'..上三角形5555355。15x1y1x1y2x1y3提取每行的公因子y1y2y3性质43．解：（1）x2y1x2y2x2y3x1x2x3y1y2y30。x3y1

8、x3y2x3y3y1y2y3a22a12a32a5CiCi1b22b12b32b5（2）左端c22c12c32c5i4,3,2d22d12d32d5C4C3C3C2a22a122b22b122c22c12=0=右端。2d22d1221a1a2Lan11a1a2Lan11a1b1a2Lan1Ri0b10L0（3）1a1a2b2Lan1R10b2