数学思维与数学文化论文

《数学思维与数学文化论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、数学思维与数学文化论文本学期我选修了数学思维与数学文化这门选修课，通过对这门课的学习研究，虽然只有短短的十周左右，让我对于数学思维在理论研究和实际生活中的应用有了更深刻的认识，同时我也了解了许多数学文化的知识，培养了我对于数学的认知能力，特别加深了我对于高等数学这门原本有些陌生的课程的理解与认识。下面结合本学期选修课所了解的内容，就高等数学的思维方法与高等数学的文化做一个简单的论文报告。高等数学史以经典微积分为主要内容的。在选修课的前几节，老师向我们介绍了微积分的一些数学历史。微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追溯到古代。我们已经知道，面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴

2、趣的课题，在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无限小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子，这便是积分学最早的应用。与积分学相比而言，微分学的起源则要晚得多。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试，如阿基米德《论螺线》中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法；阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》中讨论过圆锥曲线的切线，等等。但所有这些都是基于静态的观点，把切线看作是与曲线只在一点接触且不穿过曲线的“切触线”而与动态变化无干。古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极

3、小值问题，如郭守敬《授时历》中求“月离迟疾”(月亮运行的最快点和最慢点)、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值(郭守敬甚至称之为“极数”)等问题，但东方学者以惯用的数值手段(“招差术”，即有限差分计算)来处理，从而回避了连续变化率。总之，在17世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是很罕见的。提到微积分的发展，老师向我们着重介绍了牛顿，开普勒，笛卡尔，莱布尼茨，拉格朗日等人的生平事迹与他们当时所处的社会环境，以及他们对于微积分的发展做出的不同贡献。德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。他的无限小元法的

4、要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积。意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)中发展了系统的不可分量方法笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方圆有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分

5、和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。老师在上课时曾与我们研究讨论过牛顿的一席话，牛顿说他之所以会取得巨大的成就，是因为他站在巨人的肩膀上。其实牛顿并不是谦虚，他的确是吸收了前辈们对于还未成形的微积分的研究成果。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两那著作引导牛顿走上了创立微积分之路。在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积。面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐的能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并将其作为

6、建立微积分普遍算法的基础．正如牛顿本人在《流数简论》中所说：一旦反微分问题可解，许多问题都将迎刃而解。这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们才可说牛顿发明了微积分。然而，在了解了牛顿对于微积分做出的重大贡献的同时，老师还向我们提到，牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的，特别在使用无限小概念上的随意与混乱，这使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。牛顿因此一生都没发表过论文，因为早前只要他一发表论文就会招来许多的批评。欧洲大陆

7、的数学家们则力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难。在18世纪，这方面的代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日。18世纪的数学家们一方面努力探索在微积分中注入严密性的途径，一方面又不顾基础问题的困难而大胆前进，极大地扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，其紧密程度是数学史上任何时期都无法比拟的，它已成为18世纪数学的鲜明特征之一。微积分的这种广泛应用成为新思想的源泉，从而也使数学本身大大受益，一系列新的数学分支在18世纪逐渐成长了起来。选修课上老师