一类轨迹问题的探讨

《一类轨迹问题的探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、一类轨迹问题的探讨湖北房县第二中学杨群补序：下面的探讨是2010年秋在复习“轨迹与方程”时的课堂设计，这节课中的例4正好与2011年湖北高考第20题的第一问几乎相同。我们先看几个例题：例1经过点A、B分别作两条直线，若这两条直线的斜率之积为，求这两条直线的公共点P的轨迹方程，并指出点P的轨迹是什么曲线。解：设点P的坐标为，则直线AP，BP的斜率分别为：，依题意，得：即化简得：∴点P的轨迹是以AB为长轴的椭圆（除去的A,B）若把例1中的定值改为，则容易求得点P的轨迹方程为：，轨迹为以AB为短轴的椭圆（除去点A、B）例2经过点A、B分别作两条直线，若这两条直线的斜率之积为，求这两条

2、直线的公共点P的轨迹方程，并指出点P轨迹是什么曲线。由例1的计算方法不难得到：点P的轨迹方程为：，点P的轨迹为以AB为直径的圆（除去A,B）例3经过点A分别作直线，若这两条直线的斜率之积为，求两条直线的公共点P的轨迹方程，并指出点P的轨迹是什么曲线。由例1的计算方法不难得到：点P的轨迹方程为：，点P的轨迹为以AB为实轴的双曲线（除去点A，B）。例1至例3让我们去思考：过平面上的两个定点分别作直线，若这两条直线的斜率之积为定值，那么这两条直线的公共点的轨迹是什么曲线？与该定值有什么关系呢？我们先看定点在X轴上的情况：例4经过点A分别作直线，若这两条直线的斜率之积为定值，求这两条直

3、线的公共点P的轨迹方程，并指出点P的轨迹是什么曲线。解：设点P的坐标为，直线AP，BP的斜率分别为，则：，以题意，得：化简得：⑴当时，方程⑴可化简为：，这时点P的轨迹为直线AB（除去点A,B）；事实上，由知：或，则点A，B也满足条件，所以，当时，点P的轨迹是直线AB（即X轴）；（注：若命题中的公共点改为交点，则此时无轨迹）当时，方程⑴可化为：，这时点P的轨迹为以AB为短轴的椭圆（除去点A,B）；当时，方程⑴可化为：，这时点P的轨迹为以AB为直径的圆（除去点A,B）；当时，方程⑴可化为：，这时点P的轨迹是以AB为长轴的椭圆；当时，方程⑴可化为：，这时点P的轨迹是以AB为实轴且离心

4、率的双曲线（除去点A,B）；当时，方程⑴可化为：，这时点P的轨迹是以AB为实轴且离心率的双曲线（除去点A,B）；当时，方程⑴可化为：，这时点P的轨迹是以AB为实轴且离心率的双曲线（除去点A,B）。我们来看两个定点在Y轴上的情况：例5分别经过两个定点作直线，若这两条直线的斜率之积是定值，求这两条直线的公共点P的轨迹方程，并指出点P的轨迹是什么曲线。解：设点P的坐标为，直线AP，BP的斜率分别为，则：依题意得：即①⑴当时，方程①可化简为：，这时点P的轨迹是过点A、B与Y轴垂直的两条直线（除去点A，B）；⑵当时，方程①可化简为：若时，点P的轨迹是以AB为,长轴的椭圆（除去点A，B）；

5、若时，点P的轨迹是以AB为直径的圆（除去点A，B）；若时，点P的轨迹是以AB为短轴的椭圆（除去点A，B）；⑶当时，方程①可化简为：，若时，点P的轨迹是以AB为实轴且离心率的双曲线（除去点A，B）；若时，点P的轨迹是以AB为实轴且离心率的双曲线（除去点A，B）；若时，点P的轨迹是以AB为实轴且离心率的双曲线（除去点A，B）；我们再看两个定点不在X轴上也不在Y轴上的情况，为了方便讨论，我们让两个定点关于原点对称。例6经过两个定点A，B分别作直线，如果这两条直线的斜率之积为定值，求这两条直线的公共点P的轨迹方程，并指出点P的轨迹是什么曲线。解：设点P的坐标为，直线AP、BP的斜率分别

6、为，则：依题意得：化简得：①⑴当时，方程①化简得：（），这时点P的轨迹是分别过点A、B与Y轴垂直的两条直线（除去点A、B）；⑵当时，方程①可化简为：，若，则点P的轨迹是长轴在Y轴上短轴、在X轴上的椭圆（除去直线与椭圆的四个交点）；若，则点P的轨迹是以AB为直径的圆（除去直线与圆的四个交点）；若，则点P的轨迹是长轴在X轴上、短轴在Y轴上的椭圆（除去直线与椭圆的交点）；⑶当时，方程①可化简为：，这时点P的轨迹是直线（除去直线与这两条直线的交点）；⑷当时，方程①可化简为：，这时点P的轨迹是实轴在X轴上、虚轴在Y轴上的双曲线（除去直线与双曲线的四个交点）；⑸当时，方程①可化简为：，这时

7、点P的轨迹是实轴在Y轴上、虚轴在X轴上的双曲线（除去直线与双曲线的交点）。如果两个定点A，B是平面上的任意两个点，我们可以借用平移的思想转化为例4、例5、例6三种情况，轨迹都是以线段AB的中点为中心的，以过线段AB的中点与两条坐标轴垂直的直线为对称轴的相应曲线。从以上的探讨还可以得到下列结论：⑴AB是椭圆（）的长轴，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，则直线AP与直线BP的斜率之积等于⑵AB是椭圆（）的短轴，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，则直线AP与直线BP的斜率之积等于⑶AB是过椭圆