一类空间轨迹问题的若干性质及其应用-论文.pdf

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1、·36·中学数学研究2014年第4期图形，寻找合适的基底，然后把其它向量用基底来表PB”，既然跟垂直相关，一般非传统的综合法莫属．示，最后再进行运算．不仅如此，从对图形的依赖度但若走综合法这条路，最后是很难求出PA的长，而来看，传统的综合法完全依赖于对具体的图形分析；求出PA长的最快捷的方法却是向量法，并且是非建非建系的向量法由于涉及到向量的表示与转化，也系的方法，具体过程如下：离不开对图形的观察，但依赖度显然没有综合法那因2a—--r⋯=÷(AP+A—C’)，P-—_B⋯=PA+AB，NA--F一二么高；坐标法对图形的依赖度最低，除了建系、求坐．———}I——————}l——————标外

2、，基本可以摆脱图形的限制．由此可见，非建系·P=÷(AP+Ac)·(PA+AB)=÷(一A+AC二二向量法的思维层次要高于坐标法，更加有利学生空———_—————’——’间想象能力、逻辑推理能力培养．由此可见，非建系·AB)=÷(一AP+IACllABlCO8BAC)=0，二向量法更加有利于实现综合法到向量法、向量法到解得lAPI=2√3．坐标法的过渡，学好了非建系向量法，向量法的精髓本题第2问求二面角的大小，习惯上采用向量也就领悟了．法．通过建立空间直角坐标系，利用坐标法的确能求3．“歪招”三：见风使舵出正确的答案．但涉及到求空间点的坐标和两个平“见风使舵，源于宋·释普济《五灯会元》，原

3、指面的法向量，运算量显然比较大．若注意到本题图形看风向转发动舵柄．比喻看势头或看别人的眼色行的特殊性，采用传统的综合法就快捷多了．事．”由于AABF和△AD，全综合法适用于平行、垂直等空间关系的证明，向等，过点B作AF的垂线，垂足量法适用于空问角度、距离的求解．这是很多教师向为G，然后连结DG，如图4所学生传授的解题心得或者说是技巧．当然，通常情况示，显然DG上AF，则BcD下是正确的，但不能把它教条化，否则容易固步自就是所求二面角的平面角，而封．根据题目的具体条件，学会“见风使舵”才是明在ABDG中利用余弦定理就C智的做法．很容易求出它的大小．案例3(2013重庆理)P本题的解法颠覆了对

4、立如图3，四棱锥P—ABCD中，体几何解法的一般认识：综合图4上底面ABCD，BC=CD=法看似对路却不能用，向量法看似快便却不如几何2，AC=4，ACB=AACD=法．由此可见，教会学生灵活变通是多么的重要．教。F为PC寺，AFLPB．师在向量法的教学中也要反复强化这种意识，最后C才能实现融会贯通，灵活应用的目的．(1)求PA的长；(2)求二面角B—AF—DB参考文献的正弦值．图3[1]吴文俊．数学教育现代化问题[J]．数学通报，1995(2)：1分析：本题的第l问“求～4．PA的长”到底用什么方法?根据题目的条件A，上一类空间轨迹问题的若干性质及其应用浙江省衢州第二中学(324000)

5、傅建红空间轨迹问题是立体几何中的重要题型，也是到难以应对，不知从何处找到思维的突破口．事实令许多学生感到困惑、迷茫的问题．由于此类问题视上，此类问题的求解具有相当的规律性(通常有定角独特、构思新颖，且“动”感十足，因此学生常常感性分析(几何法)和定量解析(代数法)两种思路)，2014年第4期中学数学研究·37·本文仅从几何分析的视角对此类问题进行探究，介角(A为顶点)的对顶圆锥面(除去A点)．绍六个性质，并例说其应用．．一、性质介绍性质1设A为定点，Z为定直线，若动点P满足鼠fm直线AP上Z，则P点的轨迹为过A且垂直于z的平面图4图5图6(除去A点)．证明：如图4，因为直线AP与平面成定角

6、0，证明：如图1，过A作平面上Z，则当P∈时，AP上Z恒成立(与点P在内的运动无关)；反之，假故尸与直线z的夹角为二一0，故由性质3知，性质设存在点P诺且AP上z，因为AP上z，故由AP和4成立．AP确定的平面上f(显然异于OZ)，这就说明过性质5设Z为空间定直线，若动点P到f的距点A可作两个不同的平面，都垂直于直线Z，显然离d为定值r(r>O)，则P点的轨迹为以z为轴，r为这是不可能的．故所有满足AP上2的动点P均在平半径的圆柱面．面内，即性质1得证．证明：如图5，过P点作直线m／／z，再将绕轴Z旋转一周，得半径为r的圆柱面Q，则当P∈Q时，有d=r恒成立(与P在Q上的运动无关)；而当P

7、g二二7：Q时，显然d≠r，故性质5得证．图1，、、图2图3性质6设A为空间定点，若动点P到点A的距性质2设A为定平面外的一个定点，若动点离d为定值r(r>0)，则P点的轨迹为以A为球心，P满足直线AP／／，则P点的轨迹为过A且平行于r为半径的球面．的平面(除去A点)．证明：如图6，将以A为圆心、r为半径的半圆绕证明：如图2，过A作平面／／，则当P∈时，其直径所在的直线z旋转一周，得半径为r的球面AP／／恒成立(与点P在