李凡长版 组合数学课后习题答案习题4

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1、第四章生成函数1.求下列数列的生成函数:(1){0,1,16,81,…,n4,…}解:G{k4}=(2)解:=(3){1,0,2,0,3,0,4,0,……}解:A(x)=1+2x2+3x4+4x6+…=()2.(4){1,k,k2,k3,…}解:A(x)=1+kx+k2x2+k3x3+…=.2.求下列和式:(1)14+24+…+n4解:由上面第一题可知,{n4}生成函数为A(x)==,此处ak=k4.令bn=14+24+…+n4,则bn=,由性质3即得数列{bn}的生成函数为B(x)===.比较等式两边xn的系数,便得14+24+…+n4

2、=bn=(2)1·2+2·3+…+n(n+1)解:{n(n+1)}的生成函数为A(x)==,此处ak=n(n+1).令bn=1·2+2·3+…+n(n+1),则bn=.由性质3即得数列{bn}的生成函数为B(x)====.比较等式两边xn的系数,便得301·2+2·3+…+n(n+1)=bn=.1.利用生成函数求解下列递推关系:(1);解:令A(x)=则有A(x)-f(0)-f(1)x====7x(A(x)-f(0))-12x2A(x).将f(0)=2,f(1)=7代入上式并整理,得.(2);解:令A(x)=,则有A(x)-f(0)===

3、3xA(x)+15x·.A(x)=(3);解:令A(x)=,则有A(x)-f(0)-f(1)x===2x(A(x)-f(0))+x2A(x).将f(0)=0,f(1)=1代入上式并整理,得.2.设序列{}的生成函数为:,但,,……,,……,求序列{}的生成函数.解:由,,……,,得,所以A(x)=30.由此得B(x)=(1-x)A(x)=,亦即序列{}的生成函数。1.已知生成函数,求对应的序列{}.解:==所以an=-5·8n-2·(-7)n.2.有红,黄,蓝,白球各两个,绿,紫,黑球各3个,从中取出10个球,试问有多少种不同的取法?解:

4、Mr=My=Mb=Mw={0,1,2},Mg=Mp=Mh={0,1,2,3},所以该取法的个数为(1+x+x2)4(1+x+x2+x3)3中x10的系数,为678.3.口袋中有白球5个,红球3个,黑球2个,每次从中取5个,问有多少种取法?解:Mw={0,1,2,3,4,5},Mr={0,1,2,3},Mb={0,1,2},所以从中取5个的取法个数为(1+x+x2)(1+x+x2+x3)(1+x+x2+x3+x4+x5)中x5的系数,为12。4.求1,3,5,7,9这5个数字组成的n位数个数,要求其中3和7出现的次数位偶数,其它数字出现的次

5、数无限制.解:M1=M5=M9={0,1,2,3,…},M3=M7={0,2,4,…}该排列的生成函数为=(ex+e-x)2e3x=(e5x+e3x+ex)=所以an=.5.用3个1,2个2,5个3这十个数字能构成多少个偶的四位数?解:因要组成偶的四位数,所以个位必为2,然后确定其它三位的排列即可.M1={0,1,2,3},M2={0,1},M3={0,1,2,3,4,5},故生成函数为.其中的系数为20,即可以组成20个偶的四位数。6.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中AB至少出现一次的排列数目.解:可把AB看作一个整体,用E表示

6、,则MA=MB=MC=MD={0,1,2,…},ME={1,2,…}故有=e(4x)(e(x)-1)=e(5x)-e(4x)=5n-4n.7.从中取出n个字母,要求a的个数为3的倍数,b的个数是偶数,问有多少种取法?解:由题意可知,Ma={0,3,6,…},Mb=Mc={0,1,2,…},该取法的生成函数为(1+x3+x6+…)(1+x+x2+x3)2=·301.把正整数8写成三个非负整数之和,要求n1≤3,n2≤3,n3≤6.问有多少种不同的方案?解:由题意可知,M1=M2={0,1,2,3},M3={0,1,2,3,…,6},则生成函

7、数为(1+x+x2+x3)2(1+x+x2+x3+…+x6)=·=(1-2x4-x7+x8+2x11-x15)·符合题意的方案数为x8的系数,为=13.2.在一个程序设计课程里,每个学生的每个任务最多可以运行10次.教员发现某个任务共运行了38次.设有15名学生,每个学生对这一任务至少做一次.求观察到的总次数的组合数.解:M1=M2=…=M15={1,2,3,…,10},生成函数为(x+x2+x3+…+x10)15=,其中x38的系数为。3.用1角、2角、3角的邮票可贴出多少种不同数值的邮资?解:生成函数为G(x)=(1+x+x2+…)(

8、1+x2+x4+…)(1+x3+x6+…)=··=1+x+2x2+3x3+4x4+…4.设多重集合,表示集合满足下列条件的n组合数,分别求数列{}生成函数.(1)每个出现奇数次(i=1,2,3

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