四川省盐亭中学2022-2023学年高二上学期期中数学(理) Word版含解析.docx

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四川省盐亭中学高2021级2022年秋期中教学质量监测(理科)数学试卷一、单选题(每题5分,共计60分)1.若直线经过两点,则直线的倾斜角为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用两点间的斜率公式代入计算可得斜率,再由斜率与倾斜角之间的关系得出结果.【详解】由两点的坐标代入两点间的斜率公式可得,设直线的倾斜角为,可知,所以.故选:B2.点关于平面对称的点的坐标是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.【详解】由空间直角坐标系的性质可知,点关于平面对称的点的坐标是.故选:A3.两平行直线与之间的距离为()A.B.C.0D.【答案】A【解析】【分析】先将直线的方程变形,然后利用两平行线间的距离公式求解即可【详解】由,得, 所以两直线间的距离为,故选:A4.已知双曲线的上、下焦点分别为,,P是双曲线上一点且,则双曲线的标准方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设双曲线的标准方程为,由双曲线的定义知,,即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为,半焦距为c,则由题意可知,,即,故,所以双曲线的标准方程为.故选:C.5.若直线:与直线:平行,则的值为()A.或B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行时斜率相等,列出方程求解,再排除两直线重合的情况即可得到答案.【详解】因为直线:与直线:平行则,解得:或,当时,两直线重合,舍去;当时,验证满足.故选:B. 6.设第一象限的点为抛物线上一点,F为焦点,若,则()A.B.4C.D.32【答案】A【解析】【分析】由抛物线的定义或焦半径公式求得,代入抛物线方程可得.【详解】,则,.由题意,,所以,又,所以.故选:A.7.椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设椭圆半焦距为c,根据给定条件可得b=c,再确定a与c的关系即可得解.【详解】设椭圆半焦距为c,因椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO,则有b=c,而,于是得,所以椭圆的离心率是.故选:D8.已知双曲线的左焦点为为坐标原点,右焦点为,点为双曲线右支上的一点,且的周长为为线段的中点,则()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】 【分析】根据右焦点为,得到,进而得到,再根据的周长为得到,然后利用三角形中位线求解.【详解】解:因右焦点为,所以,又因为,则,又因,则,所以为坐标原点,且为线段的中点,所以,故选:B9.若双曲线C:的一条渐近线被以焦点为圆心的圆所截得的弦长为,则()A.1B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】结合圆的几何性质列方程,化简求得的值.【详解】圆即,圆心为,半径为,故焦点,双曲线的一条渐近线方程为,焦点到渐近线的距离为,所以,解得.故选:A. 10.从直线x-y+3=0上的点向圆x2+y2-4x-4y+7=0引切线,则切线长的最小值为(  )A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】设直线上的点为,已知圆的圆心和半径分别为,则切线长为,故当时,,应选答案B.点睛:本题求解时先设直线上动点,运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系,再运用二次函数的图像与性质求出其最小值,从而使得问题获解.本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想.11.已知抛物线的方程为,过其焦点的直线交抛物线于两点,若,()A.B.3C.D.2【答案】C【解析】【分析】设出直线方程与抛物线联立,利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得.【详解】如下图所示:易知,不妨设;设直线的方程为,与联立消去得,,由韦达定理可知; 由可得;联立解得,即;根据焦点弦公式可得;代入计算可得.故选:C12.已知,是椭圆:短轴的两个端点,点为坐标原点,点是椭圆上不同于,的动点,若直线,分别与直线交于点,,则面积的最小值为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设出点坐标,由直线的方程以及,求得两点的坐标,由此求得的表达式,求得的最小值,进而求得面积的最小值.【详解】设,则,即.依题意.则直线的方程分别为,令,得.则.而,表示点和点之间连线的斜率的倒数.设过的直线与椭圆相切,由消去并化简得,判别式,.所以 ,所以,所以.也即的最小值为,所以三角形面积的最小值为.故选:D【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质,考查直线方程,考查三角形面积最值的计算,考查直线与椭圆的位置关系,考查化归与转化的数学思想方法,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.二、填空题(每题5分,共计20分)13.过点且垂直于的直线方程为_______【答案】【解析】【分析】根据题意,设直线方程为:,再将点代入求解.【详解】解:设过点且垂直于l:的直线方程为:,把点代入可得:,解得.要求的直线方程为:,故答案为:14.若圆与圆相外切,则的值为________【答案】2【解析】 【分析】利用圆与圆位置关系求解.【详解】圆的标准方程为:,则其圆心为,半径为,因为圆与圆相外切,所以,解得,所以的值为2,故答案为:215.已知方程表示双曲线,则的取值范围是_______________________.【答案】【解析】【分析】利用方程表示双曲线的充要条件,列出不等式求解即可.【详解】解:因为方程表示双曲线,所以,即,所以的取值范围是,故答案为:.16.已知为椭圆内一定点,经过引一条弦,使此弦被点平分,则此弦所在的直线方程为________________.【答案】【解析】【分析】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,利用点差法可求得直线的斜率,进而可求得直线的点斜式方程,化为一般式即可.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点, 由于点为弦的中点,则,得,由题意得,两式相减得,所以,直线的斜率为,所以,弦所在的直线方程为,即.故答案为:.【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程,一般利用点差法,也可以利用韦达定理设而不求法来解答,考查计算能力,属于中等题.三、解答题(70分)17.求与椭圆有公共焦点,且离心率为的双曲线方程.【答案】【解析】【分析】根据题意设双曲线方程,可得关于a,b,c的方程组,进而求出a,b的数值即可求出双曲线的方程.【详解】由椭圆方程可得长半轴,短半轴,则半焦距,即焦点坐标为∵焦点在x轴上,设双曲线的方程为,由题意可得,解得, 故双曲线的方程为.18.已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零,求直线的方程.【答案】或.【解析】【分析】分直线经过原点和直线不过原点两种情况讨论求解.【详解】解:当直线经过原点时,直线在两坐标轴上截距都为零,满足条件,故直线的斜率为,故所求直线方程为:;当直线不过原点时,根据题意,设其方程为:,将代入有:,解得:,即.故所求直线的方程为:或.19.已知坐标平面上点与两个定点的距离之比等于2.(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中的轨迹为,过点的直线被所截得的线段的长为,求直线的方程.【答案】(1)点点轨迹方程为,其轨迹为以原点为圆心,2为半径的圆(2)或【解析】【分析】(1)根据题意直接列方程化简求解即可,(2)分直线斜率不存在和直线的斜率存在两种情况,结弦长,圆心距和半径的关系可求得结果.【小问1详解】由题可知,整理得:,故点点轨迹方程为,其轨迹为以原点为圆心,2为半径的圆.【小问2详解】 由题可知:①当直线斜率不存在时,此时直线的方程为:,满足弦长为.②当直线的斜率存在时,不妨设为,则直线方程为:,即:,则圆心到直线的距离为,因为直线被所截得的线段的长为,所以,得,解得,所以直线方程为.综上,满足条件直线的方程为或.20.已知长轴长为的椭圆的一个焦点为.(1)求椭圆C的方程;(2)若斜率为l的直线交椭圆于,两点,且,求直线的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)根据题意结合椭圆性质,运算可求出结果;(2)设出直线的方程,与椭圆的方程联立,结合弦长公式即可求出结果.【小问1详解】由题意,,,∴,∴椭圆的方程为. 【小问2详解】设直线的方程为,点,联立方程组化简,得,,即,且,,∴解得,符合题意,∴直线的方程为或.21.已知拋物线的顶点在原点,对称轴为轴,且经过点.(1)求抛物线方程;(2)若直线与抛物线交于两点,且满足,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标.【答案】(1)(2)定点,证明见解析【解析】【分析】(1)根据抛物线过点,代入即可求出结果;(2)由题意直线方程可设为,将其与抛物线方程联立,根据韦达定理,化简求解,即可求出定点.【小问1详解】由题可知,拋物线的开口向右,设拋物线方程为,因经过点,所以,解得所以,抛物线的标准方程为:. 【小问2详解】如图,设直线的方程为:,联立方程消有:由于交于两点,设,则,即,,由.则.解得:,验证满足条件.所以直线的方程为,即证直线恒过定点.22.已知圆,为圆上一动点,,若线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹方程;(2)如图,点在曲线上,是曲线上位于直线两侧的动点,当运动时,满足,试问直线的斜率是否为定值,请说明理由.【答案】(1);(2)为定值,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据给定条件,可得,再结合椭圆的定义求出方程作答.(2)设出直线的方程,与方程联立求出点A的横坐标,同理可得点B的横坐标,再利用斜率坐标公式计算作答.【小问1详解】依题意,,因此,于是点的轨迹为以为焦点,长轴长为8的椭圆,则长半轴长,半焦距,短半轴长,所以曲线的轨亦方程为.【小问2详解】直线的斜率为定值.设,由,得直线的斜率互为相反数, 设直线的斜率为,则直线的斜率为,直线的方程为,由消去得,,同理得,,依题意,,所以直线的斜率,即直线的斜率为定值.

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