极限运算法则两个重要极限

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1、吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号6复习旧课:1.无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系导言:前面我们介绍了极限的定义,为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限2.3极限的运算法则2.3.1极限的性质定理1:(唯一性)如果极限存在,则它只有一个极限。即若,,则定理2:(有界性)若极限存在,则函数在的某一空心邻域内有界定理3:(局部保号性)如果,并且(或),则在的某一空心邻域内,有(或)。推论若在的某一空心邻域内有(或),且,则(或)。2.3.2极限的运算法则定理1:设,,则(1)=(2)若.(常数),则(3)证明因为,,利用2。2定理,它们可以

2、分别写为:=,其中均为无穷小量,则有:(1)+=A+B+[]讲述我们先介绍极限的运算法则证明从略。以上性质只对的情况加以叙述,其它的形式也有类似的结果。吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号6由2.2定理知仍为无穷小量,所以+以A+B为极限.即=.容易证明:例1求解=15例2求解=例3求解因为=0根据无穷大于无穷小的关系所以有=注意:求极限时,必须注意每一步的根据,否则会出现错误。例4求解==例5解==设为多项式当时,因为为多项式,所以极限值等于在处的函数值因为为两个多项式商的极限,且在x=1处分母的极限不为零,所以极限值等于函数值。在x=-1处,分母为零,不能直接计算极限。在x=-

3、1处,分母为零,不能直接计算极限。“”型,先设法约去非零因子。吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号6例6求解=结论:例7求解==小结:1.极限运算法则2.求极限方法1)设为多项式,则。2)、均为多项式,且,则3)若,则4)若为“”型时,用因式分解找出“零因子”。5)结论:“”型,用无穷小量分出法,即分子、分母同时除以x的最高次幂。先通分,再计算。吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号66)若有界,则7)若为“”型时,一般是通分或有理化后再处理。2.4两个重要极限2.4.1判别极限存在的两个准则准则1(夹逼定理)设函数在的某一邻域内满足且有极限,则有准则2如果数列单调有界,则一定存在。

4、2.4.2两个重要极限1.极限例8计算解=·=·=1例9计算解===例10计算一般证明略例8、例9结果可作为公式使用。可证得此结论。吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号6解=结论:例11计算解=例12求解=例13求解错误做法:=1正确做法:=2.极限例14计算解=例15计算解=例16计算和差化积公式练习:=4因为当时,一般=e2吉林工业职业技术学院教师教案用纸序号6解===例17计算解===例18计算解===例19解令所以=小结:⒈;=1;=⒉;=1;=1作业P27——1(3)(6),P31——1(1)(6)(9)——2(1)(3)例18,例19视情况选讲

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