李凡长版 组合数学课后习题答案 习题2

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1、第二章容斥原理与鸽巢原理1、1到10000之间（不含两端）不能被4，5和7整除的整数有多少个？解令A={1,2,3,…,10000}，则

2、A

3、=10000.记A1、A2、A3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除的整数集合，则有：

4、A1

5、=L10000/4」=2500,

6、A2

7、=L10000/5」=2000,

8、A3

9、=L10000/7」=1428,于是A1∩A2表示A中能被4和5整除的数,即能被20整除的数，其个数为

10、A1∩A2

11、=L10000/20」=500；同理，

12、A1∩A3

13、=L100

14、00/28」=357,

15、A2∩A3

16、=L10000/35」=285,A1∩A2∩A3表示A中能同时被4,5,7整除的数，即A中能被4,5,7的最小公倍数lcm(4,5,6)=140整除的数，其个数为

17、A1∩A2∩A3

18、=L10000/140」=71.由容斥原理知，A中不能被4，5，7整除的整数个数为=

19、A

20、-(

21、A1

22、+

23、A2

24、+

25、A3

26、)+(

27、A1∩A2

28、+

29、A1∩A3

30、+

31、A3∩A2

32、)-

33、A1∩A2∩A3

34、=51432、1到10000之间（不含两端）不能被4或5或7整除的整数有多少个？解令

35、A={1,2,3,…,10000}，记A1、A2、A3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除的整数集合，A中不能被4，5，7整除的整数个数为=

36、A

37、--2=10000-L10000/140」-2=99273、1到10000之间（不含两端）能被4和5整除，但不能被7整除的整数有多少个？解令A1表示在1与10000之间能被4和5整除的整数集，A2表示4和5整除，也能被7整除的整数集。则：

38、A1

39、=L10000/20」=500,

40、A2

41、=L10000/140」=71,所以1与10000之间能被4和

42、5整除但不能被7整除的整数的个数为：500-71=429。4、计算集合{2·a,3·b,2·c,4·d}的5组合数.解令S∞={∞·a,∞·b,∞·c,∞·d}，则S的5组合数为=56设集合A是S∞的5组合全体，则

43、A

44、＝56，现在要求在5组合中的a的个数小于等于2，b的个数小于等于3，c的个数小于等于2，d的个数小于等于4的组合数.定义性质集合P={P1,P2,P3,P4},其中：P1：5组合中a的个数大于等于3；P2：5组合中b的个数大于等于4；P3：5组合中c的个数大于等于3；P4：5组合

45、中d的个数大于等于5.将满足性质Pi的5组合全体记为Ai(1≤i≤4).那么，A1中的元素可以看作是由S∞的5－3＝2组合再拼上3个a构成的，所以

46、A1

47、==10.16类似地，有

48、A2

49、==4.

50、A3

51、==10.

52、A1

53、==1.

54、A1∩A2

55、==0.

56、A1∩A3

57、=

58、A1∩A4

59、=

60、A2∩A4

61、=

62、A2∩A3

63、=

64、A3∩A4

65、=

66、A1∩A2∩A4

67、=

68、A1∩A2∩A3

69、=

70、A3∩A2∩A4

71、=

72、A1∩A2∩A3∩A4

73、=0而a的个数小于等于2，b的个数小于等于3，c的个数小于等于2，d的个数小于

74、等于4的5组合全体为，由容斥原理知，它的元素个数为56-(10+4+10+1)-(0+0+0+0+0+0)+(0+0+0)-0=31。1、计算{∞·a,3·b,10·c}的10组合数.解令S∞={∞·a,∞·b,∞·c}，则S的10组合数为=66设集合A是S∞的10组合全体，则

75、A

76、＝66，现在要求在10组合中的b的个数小于等于3，c的个数小于等于10的组合数.定义性质集合P={P1,P2},其中：P1：10组合中b的个数大于等于4；P2：10组合中c的个数大于等于11；将满足性质Pi的10组合

77、全体记为Ai(1≤i≤4).那么，

78、A1

79、==28.类似地，有

80、A2

81、==0.

82、A1∩A2

83、==0.故由容斥原理知，所求组合数为66-(28+0)-0=38。2、求集合{a·x,b·y,c·z}的m组合数（a,b,c全非无穷大）.解用上面的方法可以得出该集合的m组合数为：3、某班学生25人可以选修二外，其中有14人选修日语，12人选修法语，5人选修日语和德语，6人选修法语和日语，2人选修这3种语言，而且6个选修德语的都选了另一种外语（这3种内的一种）。问有多少人没有选修二外？解设选修日语，法语，

84、德语的学生集合分别为J，F，G，则

85、J

86、=14，

87、F

88、=12，

89、G

90、=6，

91、F∩J

92、=6，

93、G∩J

94、=5，

95、F∩J∩G

96、=2，

97、F∩G

98、=6-5+2＝3。故没有选修的人数为：=25–(12+14+6)+(6+5+3)–2=5。4、1到120的整数中有多少质数？多少合数？解先求合数的个数。设a为合数，p为a的最小质因子，则p≤。由于<11，故不超过120的合数必定是2，3，5，7的倍数。16根据容斥原理可得，合数的个数为89，质数为119-89=30。1、求方程x1+x2+x3=10的大于2的整数