富克斯θ函数（庞加莱）

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1、MI~MOIRESURLESFONCTIONSZI~TAFIJCHS,IENNESPARH.POINCAIC]~PARI~.w1.Introduction.Consid6ronsune6quationlin6airequelconqued'ordrep:k=p--1a~v+_Z'(x'Y)--d2=o,(:)O(~,v)=ooffles~sontdesfonctionsrationnellesetofflarelation(2)estalg6-brique.Soitmaintenantune6quationauxiliaire:a%wo(~,y)

2、w(3)~=off0(x,y)estunefonctionrationnelletellequetouslespointssinguliersdel'dquation(i)appartiennentl'~quation(3).Soitaunpointsingulierappartenant~laloisauxdeux6quations;cepointslngulierregard6commeappartenanti~(I)nousconduirab~une6quationd6terminanteEdedegr6p;regard6commeappa

3、rtenantb~(3),ilnousconduirasune6quationd6terminanteE'duseconddegr6.Soit~ladiff6rencedesdeuxracinesdeE'.Jesupposeque0ait6t6choisidetellesorteque3soilnuloubienque3dtantunepattiealiquotedel'unitdrouteslesracinesdel'gquationE'soientdesmultiplesde3.Danslecasoffdanslevoisinagedupoi

4、ntalesint~gralesdel'~quation(i)seraientirr~guli~res,~dew'ait~tresuppos~nul.I1fautenfinquem~mepourlespointssinguliersde(3)Aetamathematica.5.Imprim~22Juillet1884,27210H.Poincar4.quin'appartiennentpasb.l'~quation(I),5soitnulousoitunepartiealiquotedel'unit6etquelesint6gralesdel'6

5、quation(I)soientpartoutr6guli6res.Cesconditionsnesuffisentpaspourd~terminer0.Supposonsmgmequel'onchoisissearbitrairementlespointssinguliersde(3)quin'appartien-nentpas~(I)etles6quationsd6terminantesrelatives~touslespointssinguliersde(3)ensatisfaisanttoutefoisauxdiversesconditi

6、onsquenousveVionsd'dnoncer.Quandcechoixserafait,0neserapasencoreenti6re-mentd6terInin6,etilyresterauncertainnombredeparam6tresarbi-traires.Dansdiversm6moires,antdrieurementins6r6sauxActamathe-matica,j'aid6montr6qu'onpouvaitdisposerdecesparam6tres:I~d'unemani6reetd'uneseule,de

7、tellefa~onque~etysoientfonctionsfuchsiennesdezn'existantqu'~l'int6rieurd'uncercle;2~d'uneinfinitddemani6res,detellefaconquexetysoientfonc-tionsklein6ennesdezn'existantpasdanstoutleplan.3~d'unemani6reetd'uneseuledetellefaqonquexetysoientfonctionsfuchsiennesetklein6ennesdezexis

8、tantdanstoutleplan.Danstouscescaslesint6gralesdel'6quation(I)sontdes