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1、M/~MOIRESURLESFONCTIONSFUCHSIENNESPARH.POINCARE.§1.SdriesTh~tafuel~siennes.Dunsunm~moireant~rieur,j'aimontr5commentilestpossibledeformerdesgroupesdiscontinusavecdessubstitutionsdelaforme:(1)z,r~z+enchoisissantlescoefficientsa~,/~,y~,~detellefaconquelesdiversessubsti
2、tutionsdugroupen'alt~rentpusuncertaincercleappel~cerclefondamenta].Jesupposeraidunstoutcequivasuivrequececerclefondamentalapourcentrel'origineetpourrayonl'unit~,detellesortequeson5quationsoit:rood.z~--1.Jeconsid6reundecesgroupesdiscontinus,ditsgroupesfuchsiens,quej'
3、appelleG.Acegroupecorrespondraunedgcompositionducerclefondamentalenuneinfinit6depolygonesnormauxR,touscongruentsentreeux.JemeproposededSmontrerqu'ilexistetoujoursunsystgmedefonctionsuniformesdezquidemeurentinalt~%esparlesdiversessub-stitutionsdugroupeGetquej'Appelle
4、raifonctionsfuchsiennes.Aceteffetj'envisagelesdiversessubstitutionsdeGcomprisesdunslaformule(1)etjeposepourab%ger:ActaMathematica.I.~5194H.Poincard.+S(,)commejel'aifaitau§3dum4moirecit6.Jeformeensuitelas6rie:(2),~dz/0ohmestunentierpositifplusgrandque1.Jevaisd6montre
5、rquecettesdrieestconvergenteenfaisantsuc-cessivementdiverseshypothSses:1°Supposonsd'abordquezsoitintdrieuraucerclefondamental:ilseraalorsint6rieurb~l'undespolygonesR,parexempleaupolygoneRhquicorrespond~lasubstitutiondeGquiapourindicehe¢quis'dc'rit:Soit:Lasubstitutio
6、nferapartiedugroupeGetcorrespondra~uncertainpolygoneR~.Puis-quezestsuppos(~int~rieur~Rh,f(z)seraint6rieurk/~,.Supposonsquel'ond6criveautourdezuncontourtr~spetitCo,enveloppantlepointzetdtantsitu~toutentierkl'int4rieurdeRh;letransform6dcCoparlasubstitution[z,f(z)]sera
7、uncertaincontourtr~spetitC~,enveloppantlepointf(z)etsitu~toutentierkl'int~rieurdeRk.Afind'Oablirlaconvergencedelas~rie(2)nousallonsddrnontrersuccessivementuncertainhombredelcmmes.LEMMI~I.LasommedessurfacesdetouslescontoursC~estdgalehunequantitdfinieC.Eneffctcesdiff5
8、rentscontoursC~enhombreinfinisonttousin-t~rieursaucerclefondamcntal;deplusilsn'ontaucunepartiecommunepuisquechacund'euxesttoutentierint6ri
